¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales con factor integrante? 6

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 4.a de ecuaciones con factor integrante del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición, del autor George F. Simmons
El problema es el siguiente:
Resolver las siguientes ecuaciones usando las fórmulas diferenciales:
$$d\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{ydx-xdy}{y^{2}}$$
$$d(xy)=xdy+ydx$$
$$d(x^{2}+y^{2})=2(xdx+ydy)$$
$$d\left(arctg\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{x^{2}+y^{2}}$$
$$d\left(ln\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{xy}$$
Nuestra ecuación diferencial a resolver es:
$$(y+x)dy=(y-x)dx$$
Distribuimos y la ecuación diferencial toma la forma:
$$ydy+xdy=ydx-xdx$$
Pasamos a restar $ydy$ del lado izquierdo al derecho  y también pasamos a restar $ydx$ del lado derecho al izquierdo
$$xdy-ydx=-ydy-xdx$$
Multiplicamos por menos en ambos lados de la  expresión y nos queda:
$$ydx-xdy=ydy+xdx$$
Multiplicamos por $\frac{1}{x^{2}+y^{2}}$ en ambos lados:
$$\frac{ydx-xdy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{ydy+xdx}{x^{2}+y^{2}}$$
Vemos que el primer término corresponde a la forma diferencial 4 que tenemos y el numerador lo podemos representar en términos de la 3 formula diferencial como $\frac{d(x^{2}+y^{2})}{2}=ydy+xdx$, luego la ecuación diferencial toma la forma:
$$d\left(arctg\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{d(x^{2}+y^{2})}{2(x^{2}+y^{2})}$$
La segunda expresión la podemos obtener realizando una integral por sustitución e integrando el término de la izquierda finalmente hallamos nuestra solución a nuestra ecuación diferencial:
$$arctg\left(\frac{x}{y}\right)=ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}+C$$