Ir al contenido principal

¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales con factor integrante? 6

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 4.a de ecuaciones con factor integrante del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición, del autor George F. Simmons
El problema es el siguiente:
Resolver las siguientes ecuaciones usando las fórmulas diferenciales:
\[d\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{ydx-xdy}{y^{2}}\]
\[d(xy)=xdy+ydx\]
\[d(x^{2}+y^{2})=2(xdx+ydy)\]
\[d\left(arctg\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{x^{2}+y^{2}}\]
\[d\left(ln\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{xy}\]
Nuestra ecuación diferencial a resolver es:
\[(y+x)dy=(y-x)dx\]
Distribuimos y la ecuación diferencial toma la forma:
\[ydy+xdy=ydx-xdx\]
Pasamos a restar $ydy$ del lado izquierdo al derecho  y también pasamos a restar $ydx$ del lado derecho al izquierdo
\[xdy-ydx=-ydy-xdx\]
Multiplicamos por menos en ambos lados de la  expresión y nos queda:
\[ydx-xdy=ydy+xdx\]
Multiplicamos por $\frac{1}{x^{2}+y^{2}}$ en ambos lados:
\[\frac{ydx-xdy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{ydy+xdx}{x^{2}+y^{2}}\]
Vemos que el primer término corresponde a la forma diferencial 4 que tenemos y el numerador lo podemos representar en términos de la 3 formula diferencial como $\frac{d(x^{2}+y^{2})}{2}=ydy+xdx$, luego la ecuación diferencial toma la forma:
\[d\left(arctg\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{d(x^{2}+y^{2})}{2(x^{2}+y^{2})}\]
La segunda expresión la podemos obtener realizando una integral por sustitución e integrando el término de la izquierda finalmente hallamos nuestra solución a nuestra ecuación diferencial:
\[arctg\left(\frac{x}{y}\right)=ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}+C\]
Etiquetas:

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

Problema de probabilidad 1

A un mono se le dan 9 bloques: 3 en forma de cuadrados ,3 como rectángulos y 3 como triángulos. si saca tres de cada clase en orden, es decir, tres triángulos, luego la misma cantidad de cuadrados y así sucesivamente. ¿ sospecharía usted que el mono asoció figuras que tengan forma idéntica?. calcule la probabilidad de este evento. Como tenemos 3 figuras, debemos tener en cuenta todas las posibles formas de organizarlas, Luego una forma de representar este orden es de la siguiente manera: Tomamos $C$ como Cuadrado, $R$ como Rectángulo, y $T$ como Triángulo \[CRT \quad RTC \quad TCR\] \[CTR \quad RCT \quad TRC\] Que corresponden a $6$ formas de organizar las tres figuras, este procedimiento se puede representar fácilmente con la operación factorial, para nuestro caso queda definido como: \[3!=3 \times 2 \times 1 = 6\] Luego por cada vez que el mono saca tres bloques, estos vendrán organizados de $3!$ formas, y como son 3 tandas de veces que el mono va a sacar cantidades
Publicar un comentario
Leer más

¿Cómo resolver la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple con gravedad?

En este caso vamos a solucionar la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional que solo tiene el movimiento en el eje y, y además está en presencia de la gravedad, su ecuación diferencial es la siguiente: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=g\] Esta es una ecuación diferencial no homogénea y la vamos a resolver por el método de variación de parámetros. Para este método necesitamos resolver la ecuación diferencial homogenea: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=0\] Que ya la hemos resuelto en este enlace  aunque resuelta con la coordenada $x$, pero eso no va a importar, porque va a ser la misma solución, solo que cambiamos de $x$ a $y$: \[y(t)=c_{1}cos(\omega t)+c_{2}sen(\omega t)\] Para resolver la ecuación diferencial debemos hallar el wronskiano: \[W(f(t),g(t))=\begin{vmatrix}f(t) & g(t)\\f'(t) & g'(t)\end{vmatrix}\] Identificamos las funciones $f(t)=c_{1}cos(\omega t)$ y $g(t)=c_{2}sen(\omega t)$, hallamos las derivadas $f'(t)=-c_{1}\omega sen(\omega t)$ y $g'(t)=c_{
Publicar un comentario
Leer más

¿Cómo realizar una sustitución para integrar una función en términos de arcoseno?

La integral que queremos resolver es la siguiente: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}\] Realizamos un cambio de variable de la siguiente forma: \[\frac{k}{2E}x^{2}=y^{2}\] Para poder hallar la derivada sacamos raíz cuadrada a ambos términos: \[\sqrt{\frac{k}{2E}}x=y\] Sacamos las derivadas y obtenemos: \[\sqrt{\frac{k}{2E}}dx=dy\] Luego pasando el factor que multiplica el $dx$ al lado del dy: \[dx=\sqrt{\frac{2E}{k}}dy\] Por tanto la integral queda de la forma: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\sqrt{\frac{2E}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}\] \[\sqrt{\frac{m}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}\] Que corresponde a una integral de arcoseno, por lo tanto la respuesta nos queda como: \[\sqrt{\frac{m}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen(y)+C\] Deshaciendo el cambio de variable, obtenemos finalmente el resultado de nuestra integral: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcse
Publicar un comentario
Leer más