¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales con factor integrante? 6

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 4.a de ecuaciones con factor integrante del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición, del autor George F. Simmons
El problema es el siguiente:
Resolver las siguientes ecuaciones usando las fórmulas diferenciales:
\[d\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{ydx-xdy}{y^{2}}\]
\[d(xy)=xdy+ydx\]
\[d(x^{2}+y^{2})=2(xdx+ydy)\]
\[d\left(arctg\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{x^{2}+y^{2}}\]
\[d\left(ln\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{xy}\]
Nuestra ecuación diferencial a resolver es:
\[(y+x)dy=(y-x)dx\]
Distribuimos y la ecuación diferencial toma la forma:
\[ydy+xdy=ydx-xdx\]
Pasamos a restar $ydy$ del lado izquierdo al derecho  y también pasamos a restar $ydx$ del lado derecho al izquierdo
\[xdy-ydx=-ydy-xdx\]
Multiplicamos por menos en ambos lados de la  expresión y nos queda:
\[ydx-xdy=ydy+xdx\]
Multiplicamos por $\frac{1}{x^{2}+y^{2}}$ en ambos lados:
\[\frac{ydx-xdy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{ydy+xdx}{x^{2}+y^{2}}\]
Vemos que el primer término corresponde a la forma diferencial 4 que tenemos y el numerador lo podemos representar en términos de la 3 formula diferencial como $\frac{d(x^{2}+y^{2})}{2}=ydy+xdx$, luego la ecuación diferencial toma la forma:
\[d\left(arctg\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{d(x^{2}+y^{2})}{2(x^{2}+y^{2})}\]
La segunda expresión la podemos obtener realizando una integral por sustitución e integrando el término de la izquierda finalmente hallamos nuestra solución a nuestra ecuación diferencial:
\[arctg\left(\frac{x}{y}\right)=ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}+C\]