¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales exactas? 3

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 11 de ecuaciones homogéneas del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición, del autor George F. Simmons
El problema es el siguiente:
Determinar si la ecuación es exacta y resolverla
$$dx=\frac{y}{1-x^{2}y^{2}}dx+\frac{x}{1-x^{2}y^{2}}dy$$
Primero debemos igualar a cero para poder calcular las respectivas derivadas y tendremos:
$$\left(\frac{y}{1-x^{2}y^{2}}-1\right)dx+\frac{x}{1-x^{2}y^{2}}dy=0$$
Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente:
$$\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}$$
O como normalmente se muestra:
$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$
Corresponde a la ecuación diferencial:
$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$
Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$
El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso).
Calculamos la derivada parcial de $M$ respecto a $y$, del problema que vamos a intentar solucionar que corresponde a la derivada de un cociente:
$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{1-x^{2}y^{2}}-1\right)$$
$$=\frac{1+x^{2}y^{2}}{(1-x^{2}y^{2})^{2}}$$
Ahora calculamos la derivada parcial de $N$ respecto a $x$
$$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{1-x^{2}y^{2}})$$
$$=\frac{1+x^{2}y^{2}}{(1-x^{2}y^{2})^{2}}$$
Luego podemos ver que ambos resultados son iguales
$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$
Corresponde a una ecuación diferencial exacta, ahora pasamos a hallar nuestra función $f$ como sigue:
$$f=\int Mdx + g(y)$$
Reemplazamos $M$ e integramos:
$$f=\int \left(\frac{y}{1-x^{2}y^{2}}-1\right)dx+ g(y)$$
Aplicamos linealidad e integramos:
$$f=\int \frac{y}{1-x^{2}y^{2}}dx-1\int dx+ g(y)$$

Como $y$ es constante, luego sale de la primera integral:
$$f=y\int \frac{1}{1-x^{2}y^{2}}dx-1\int dx+ g(y)$$
Así el primer término se integra por fracciones parciales, y el segundo si es una integral sencilla:
$$f=y\left(-\frac{1}{2y}ln(1-yx)+\frac{1}{2y}ln(1+yx)\right)-x+ g(y)$$
Cancelamos términos y los organizamos:
$$f=\frac{1}{2}ln(1+yx)-\frac{1}{2}ln(1-yx)-x+ g(y)$$
Derivamos parcialmente respecto a $y$ para hallar la derivada de la función $g(y)$:
$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{1}{2}ln(1+yx)-\frac{1}{2}ln(1-yx)-x+ g(y)\right)$$
$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{2(1+yx)}-\frac{x}{2(1+yx)}+g'(y)$$
Realizamos las respectivas operaciones algebraicas:
$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{1-x^{2}y^{2}}+g'(y)$$
Recordamos que la derivada parcial de $f$ respecto a $y$ corresponde a $N$, por lo tanto reemplazamos y despejamos $g'(y)$:
$$\frac{x}{1-x^{2}y^{2}}=\frac{x}{1-x^{2}y^{2}}+g'(y)$$
$$g'(y)=0$$
Por lo tanto integramos y tenemos la función $g(y)$
$$g(y)=c$$
La solución finalmente nos queda (realizando las operaciones pertinentes):
$$\frac{1}{2}ln(1+yx)-\frac{1}{2}ln(1-yx)-x+c=0$$
$$ln(1+yx)-ln(1-yx)-2x=c$$
Por propiedades de logaritmos finalmente tenemos:
$$ln\left(\frac{1+yx}{1-yx}\right)-2x=c$$