En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 11 de ecuaciones homogéneas del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición, del autor George F. Simmons
El problema es el siguiente:
Determinar si la ecuación es exacta y resolverla
\[dx=\frac{y}{1-x^{2}y^{2}}dx+\frac{x}{1-x^{2}y^{2}}dy\]
Primero debemos igualar a cero para poder calcular las respectivas derivadas y tendremos:
\[\left(\frac{y}{1-x^{2}y^{2}}-1\right)dx+\frac{x}{1-x^{2}y^{2}}dy=0\]
Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente:
\[\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}\]
O como normalmente se muestra:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\]
Corresponde a la ecuación diferencial:
\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\]
Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$
El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso).
Calculamos la derivada parcial de $M$ respecto a $y$, del problema que vamos a intentar solucionar que corresponde a la derivada de un cociente:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{1-x^{2}y^{2}}-1\right)\]
\[=\frac{1+x^{2}y^{2}}{(1-x^{2}y^{2})^{2}}\]
Ahora calculamos la derivada parcial de $N$ respecto a $x$
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{1-x^{2}y^{2}})\]
\[=\frac{1+x^{2}y^{2}}{(1-x^{2}y^{2})^{2}}\]
Luego podemos ver que ambos resultados son iguales
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\]
Corresponde a una ecuación diferencial exacta, ahora pasamos a hallar nuestra función $f$ como sigue:
\[f=\int Mdx + g(y)\]
Reemplazamos $M$ e integramos:
\[f=\int \left(\frac{y}{1-x^{2}y^{2}}-1\right)dx+ g(y)\]
Aplicamos linealidad e integramos:
\[f=\int \frac{y}{1-x^{2}y^{2}}dx-1\int dx+ g(y)\]
El problema es el siguiente:
Determinar si la ecuación es exacta y resolverla
\[dx=\frac{y}{1-x^{2}y^{2}}dx+\frac{x}{1-x^{2}y^{2}}dy\]
Primero debemos igualar a cero para poder calcular las respectivas derivadas y tendremos:
\[\left(\frac{y}{1-x^{2}y^{2}}-1\right)dx+\frac{x}{1-x^{2}y^{2}}dy=0\]
Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente:
\[\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}\]
O como normalmente se muestra:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\]
Corresponde a la ecuación diferencial:
\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\]
Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$
El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso).
Calculamos la derivada parcial de $M$ respecto a $y$, del problema que vamos a intentar solucionar que corresponde a la derivada de un cociente:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{1-x^{2}y^{2}}-1\right)\]
\[=\frac{1+x^{2}y^{2}}{(1-x^{2}y^{2})^{2}}\]
Ahora calculamos la derivada parcial de $N$ respecto a $x$
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{1-x^{2}y^{2}})\]
\[=\frac{1+x^{2}y^{2}}{(1-x^{2}y^{2})^{2}}\]
Luego podemos ver que ambos resultados son iguales
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\]
Corresponde a una ecuación diferencial exacta, ahora pasamos a hallar nuestra función $f$ como sigue:
\[f=\int Mdx + g(y)\]
Reemplazamos $M$ e integramos:
\[f=\int \left(\frac{y}{1-x^{2}y^{2}}-1\right)dx+ g(y)\]
Aplicamos linealidad e integramos:
\[f=\int \frac{y}{1-x^{2}y^{2}}dx-1\int dx+ g(y)\]
Como $y$ es constante, luego sale de la primera integral:
\[f=y\int \frac{1}{1-x^{2}y^{2}}dx-1\int dx+ g(y)\]
Así el primer término se integra por fracciones parciales, y el segundo si es una integral sencilla:
\[f=y\left(-\frac{1}{2y}ln(1-yx)+\frac{1}{2y}ln(1+yx)\right)-x+ g(y)\]
Cancelamos términos y los organizamos:
\[f=\frac{1}{2}ln(1+yx)-\frac{1}{2}ln(1-yx)-x+ g(y)\]
Derivamos parcialmente respecto a $y$ para hallar la derivada de la función $g(y)$:
\[\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{1}{2}ln(1+yx)-\frac{1}{2}ln(1-yx)-x+ g(y)\right)\]
\[\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{2(1+yx)}-\frac{x}{2(1+yx)}+g'(y)\]
Realizamos las respectivas operaciones algebraicas:
\[\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{1-x^{2}y^{2}}+g'(y)\]
Recordamos que la derivada parcial de $f$ respecto a $y$ corresponde a $N$, por lo tanto reemplazamos y despejamos $g'(y)$:
\[\frac{x}{1-x^{2}y^{2}}=\frac{x}{1-x^{2}y^{2}}+g'(y)\]
\[g'(y)=0\]
Por lo tanto integramos y tenemos la función $g(y)$
\[g(y)=c\]
La solución finalmente nos queda (realizando las operaciones pertinentes):
\[\frac{1}{2}ln(1+yx)-\frac{1}{2}ln(1-yx)-x+c=0\]
\[ln(1+yx)-ln(1-yx)-2x=c\]
Por propiedades de logaritmos finalmente tenemos:
\[ln\left(\frac{1+yx}{1-yx}\right)-2x=c\]
\[f=y\int \frac{1}{1-x^{2}y^{2}}dx-1\int dx+ g(y)\]
Así el primer término se integra por fracciones parciales, y el segundo si es una integral sencilla:
\[f=y\left(-\frac{1}{2y}ln(1-yx)+\frac{1}{2y}ln(1+yx)\right)-x+ g(y)\]
Cancelamos términos y los organizamos:
\[f=\frac{1}{2}ln(1+yx)-\frac{1}{2}ln(1-yx)-x+ g(y)\]
Derivamos parcialmente respecto a $y$ para hallar la derivada de la función $g(y)$:
\[\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{1}{2}ln(1+yx)-\frac{1}{2}ln(1-yx)-x+ g(y)\right)\]
\[\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{2(1+yx)}-\frac{x}{2(1+yx)}+g'(y)\]
Realizamos las respectivas operaciones algebraicas:
\[\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{1-x^{2}y^{2}}+g'(y)\]
Recordamos que la derivada parcial de $f$ respecto a $y$ corresponde a $N$, por lo tanto reemplazamos y despejamos $g'(y)$:
\[\frac{x}{1-x^{2}y^{2}}=\frac{x}{1-x^{2}y^{2}}+g'(y)\]
\[g'(y)=0\]
Por lo tanto integramos y tenemos la función $g(y)$
\[g(y)=c\]
La solución finalmente nos queda (realizando las operaciones pertinentes):
\[\frac{1}{2}ln(1+yx)-\frac{1}{2}ln(1-yx)-x+c=0\]
\[ln(1+yx)-ln(1-yx)-2x=c\]
Por propiedades de logaritmos finalmente tenemos:
\[ln\left(\frac{1+yx}{1-yx}\right)-2x=c\]
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