Ir al contenido principal

¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales exactas? 2

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 7 de ecuaciones homogéneas del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición, del autor George F. Simmons
El problema es el siguiente:
Determinar si la ecuación es exacta y resolverla
\[(sen(x)sen(y)-xe^{y})dy=(e^{y}+cos(x)cos(y))dx\]
Primero debemos igualar a cero para poder calcular las respectivas derivadas y tendremos:
\[-(e^{y}+cos(x)cos(y))dx+(sen(x)sen(y)-xe^{y})dy=0\]
Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente:
\[\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}\]
O como normalmente se muestra:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\]
Corresponde a la ecuación diferencial:
\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\]
Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$
El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso).
Calculamos la derivada parcial de $M$ respecto a $y$, del problema que vamos a intentar solucionar:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-(e^{y}+cos(x)cos(y)))=\frac{\partial}{\partial y}(-e^{y}-cos(x)cos(y))\]
\[=-e^{y}+cos(x)sen(y)\]
Ahora calculamos la derivada parcial de $N$ respecto a $x$
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(sen(x)sen(y)-xe^{y})\]
\[=-e^{y}+cos(x)sen(y)\]
Luego podemos ver que ambos resultados son iguales
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\]
Corresponde a una ecuación diferencial exacta, ahora pasamos a hallar nuestra función $f$ como sigue:
\[f=\int Mdx + g(y)\]
Reemplazamos $M$ e integramos:
\[f=\int (-e^{y}-cos(x)cos(y))dx+ g(y)\]
Aplicamos linealidad e integramos:
\[f=-\int e^{y}dx-\int cos(x)cos(y)dx+ g(y)\]
\[f=-xe^{y}- sen(x)cos(y)+ g(y)\]
Derivamos parcialmente la función $f$ respecto a $y$
\[\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-xe^{y}- sen(x)cos(y)+ g(y))\]
\[\frac{\partial f}{\partial y}=-xe^{y}+sen(x)sen(y)+g'(y)\]
Recordamos que $\frac{\partial f}{\partial y}=N$ y reemplazamos para hallar la derivada de la función $g(y)$:
\[sen(x)sen(y)-xe^{y}=-xe^{y}+sen(x)sen(y)+g'(y)\]
\[g'(y)=0\]
Luego integrando respecto a $y$ tenemos:
\[\int g'(y)dy=\int 0 dy\]
\[ g(y)=c\]
Luego la solución queda reemplazando el valor de $g(y)$ en $f$
\[-xe^{y}-sen(x)cos(y)+c=0\]
\[xe^{y}+sen(x)cos(y)=c\]
Etiquetas:

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

¿Cómo resolver la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple con gravedad?

En este caso vamos a solucionar la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional que solo tiene el movimiento en el eje y, y además está en presencia de la gravedad, su ecuación diferencial es la siguiente: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=g\] Esta es una ecuación diferencial no homogénea y la vamos a resolver por el método de variación de parámetros. Para este método necesitamos resolver la ecuación diferencial homogenea: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=0\] Que ya la hemos resuelto en este enlace  aunque resuelta con la coordenada $x$, pero eso no va a importar, porque va a ser la misma solución, solo que cambiamos de $x$ a $y$: \[y(t)=c_{1}cos(\omega t)+c_{2}sen(\omega t)\] Para resolver la ecuación diferencial debemos hallar el wronskiano: \[W(f(t),g(t))=\begin{vmatrix}f(t) & g(t)\\f'(t) & g'(t)\end{vmatrix}\] Identificamos las funciones $f(t)=c_{1}cos(\omega t)$ y $g(t)=c_{2}sen(\omega t)$, hallamos las derivadas $f'(t)=-c_{1}\omega sen(\omega t)$ y $g'(t)=c_{...
Publicar un comentario
Leer más

¿Cuál es la integral de sen(2x)?

Nuestra integral a resolver está vez es la siguiente: \[\int sen(2x)dx\] Podemos realizar la siguiente sustitución $u=2x$, $du=2dx$, entonces $\frac{du}{2}=dx$, así la integral nos queda de la forma: \[\frac{1}{2}\int sen(u)du\] Que corresponde a una integral fundamental: \[\frac{1}{2}\int sen(u)du=-\frac{1}{2}cos(u)+C\] Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la respuesta a nuestra integral: \[-\frac{1}{2}cos(2x)+C\]
Publicar un comentario
Leer más

¿Cómo resolver la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple?

En este caso vamos a solucionar la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional que solo tiene el movimiento en el eje x, y su ecuación diferencial es la siguiente: \[\ddot{x}+\omega^{2}x=0\] Podemos ver que la ecuación corresponde a una ecuación diferencial homogénea, así que proponemos una solución de la forma $x=e^{mt}$ y hallamos sus derivadas $\dot{x}=me^{mt}$, $\ddot{x}=m^{2}e^{mt}$, reemplazamos en nuestra ecuación diferencial: \[m^{2}e^{mt}+\omega^{2}e^{mt}=0\] Sacando factor común $e^{mt}$: \[e^{mt}(m^{2}+\omega^{2})=0\] Donde $e^{mt}$ no puede ser cero, entonces lo será el termino entre parentesis y hallamos sus respectivas raíces: \[m^{2}+\omega^{2}=0\] Donde las soluciones son imaginarias y corresponden a: \[m_1=i\omega \quad m-2=-i\omega\] La solución queda expresada como: \[x(t)=e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}\] Aplicamos la identidad de Euler para simplificar mas elegante esta solución: \[e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta\] Nos queda ahora ...
Publicar un comentario
Leer más