En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 7 de ecuaciones homogéneas del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición, del autor George F. Simmons
El problema es el siguiente:
Determinar si la ecuación es exacta y resolverla
(sen(x)sen(y)−xey)dy=(ey+cos(x)cos(y))dx
Primero debemos igualar a cero para poder calcular las respectivas derivadas y tendremos:
−(ey+cos(x)cos(y))dx+(sen(x)sen(y)−xey)dy=0
Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente:
∂2f∂y∂x=∂2f∂x∂y
O como normalmente se muestra:
∂M∂y=∂N∂x
Corresponde a la ecuación diferencial:
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Luego podemos identificar las funciones M=∂f∂x y N=∂f∂y
El problema es hallar la función f que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso).
Calculamos la derivada parcial de M respecto a y, del problema que vamos a intentar solucionar:
∂M∂y=∂∂y(−(ey+cos(x)cos(y)))=∂∂y(−ey−cos(x)cos(y))
=−ey+cos(x)sen(y)
Ahora calculamos la derivada parcial de N respecto a x
∂N∂x=∂∂x(sen(x)sen(y)−xey)
=−ey+cos(x)sen(y)
Luego podemos ver que ambos resultados son iguales
∂M∂y=∂N∂x
Corresponde a una ecuación diferencial exacta, ahora pasamos a hallar nuestra función f como sigue:
f=∫Mdx+g(y)
Reemplazamos M e integramos:
f=∫(−ey−cos(x)cos(y))dx+g(y)
Aplicamos linealidad e integramos:
f=−∫eydx−∫cos(x)cos(y)dx+g(y)
f=−xey−sen(x)cos(y)+g(y)
Derivamos parcialmente la función f respecto a y
∂f∂y=∂∂y(−xey−sen(x)cos(y)+g(y))
∂f∂y=−xey+sen(x)sen(y)+g′(y)
Recordamos que ∂f∂y=N y reemplazamos para hallar la derivada de la función g(y):
sen(x)sen(y)−xey=−xey+sen(x)sen(y)+g′(y)
g′(y)=0
Luego integrando respecto a y tenemos:
∫g′(y)dy=∫0dy
g(y)=c
Luego la solución queda reemplazando el valor de g(y) en f
−xey−sen(x)cos(y)+c=0
xey+sen(x)cos(y)=c
El problema es el siguiente:
Determinar si la ecuación es exacta y resolverla
(sen(x)sen(y)−xey)dy=(ey+cos(x)cos(y))dx
Primero debemos igualar a cero para poder calcular las respectivas derivadas y tendremos:
−(ey+cos(x)cos(y))dx+(sen(x)sen(y)−xey)dy=0
Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente:
∂2f∂y∂x=∂2f∂x∂y
O como normalmente se muestra:
∂M∂y=∂N∂x
Corresponde a la ecuación diferencial:
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Luego podemos identificar las funciones M=∂f∂x y N=∂f∂y
El problema es hallar la función f que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso).
Calculamos la derivada parcial de M respecto a y, del problema que vamos a intentar solucionar:
∂M∂y=∂∂y(−(ey+cos(x)cos(y)))=∂∂y(−ey−cos(x)cos(y))
=−ey+cos(x)sen(y)
Ahora calculamos la derivada parcial de N respecto a x
∂N∂x=∂∂x(sen(x)sen(y)−xey)
=−ey+cos(x)sen(y)
Luego podemos ver que ambos resultados son iguales
∂M∂y=∂N∂x
Corresponde a una ecuación diferencial exacta, ahora pasamos a hallar nuestra función f como sigue:
f=∫Mdx+g(y)
Reemplazamos M e integramos:
f=∫(−ey−cos(x)cos(y))dx+g(y)
Aplicamos linealidad e integramos:
f=−∫eydx−∫cos(x)cos(y)dx+g(y)
f=−xey−sen(x)cos(y)+g(y)
Derivamos parcialmente la función f respecto a y
∂f∂y=∂∂y(−xey−sen(x)cos(y)+g(y))
∂f∂y=−xey+sen(x)sen(y)+g′(y)
Recordamos que ∂f∂y=N y reemplazamos para hallar la derivada de la función g(y):
sen(x)sen(y)−xey=−xey+sen(x)sen(y)+g′(y)
g′(y)=0
Luego integrando respecto a y tenemos:
∫g′(y)dy=∫0dy
g(y)=c
Luego la solución queda reemplazando el valor de g(y) en f
−xey−sen(x)cos(y)+c=0
xey+sen(x)cos(y)=c
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