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¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales exactas? 2

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 7 de ecuaciones homogéneas del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición, del autor George F. Simmons
El problema es el siguiente:
Determinar si la ecuación es exacta y resolverla
\[(sen(x)sen(y)-xe^{y})dy=(e^{y}+cos(x)cos(y))dx\]
Primero debemos igualar a cero para poder calcular las respectivas derivadas y tendremos:
\[-(e^{y}+cos(x)cos(y))dx+(sen(x)sen(y)-xe^{y})dy=0\]
Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente:
\[\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}\]
O como normalmente se muestra:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\]
Corresponde a la ecuación diferencial:
\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\]
Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$
El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso).
Calculamos la derivada parcial de $M$ respecto a $y$, del problema que vamos a intentar solucionar:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-(e^{y}+cos(x)cos(y)))=\frac{\partial}{\partial y}(-e^{y}-cos(x)cos(y))\]
\[=-e^{y}+cos(x)sen(y)\]
Ahora calculamos la derivada parcial de $N$ respecto a $x$
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(sen(x)sen(y)-xe^{y})\]
\[=-e^{y}+cos(x)sen(y)\]
Luego podemos ver que ambos resultados son iguales
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\]
Corresponde a una ecuación diferencial exacta, ahora pasamos a hallar nuestra función $f$ como sigue:
\[f=\int Mdx + g(y)\]
Reemplazamos $M$ e integramos:
\[f=\int (-e^{y}-cos(x)cos(y))dx+ g(y)\]
Aplicamos linealidad e integramos:
\[f=-\int e^{y}dx-\int cos(x)cos(y)dx+ g(y)\]
\[f=-xe^{y}- sen(x)cos(y)+ g(y)\]
Derivamos parcialmente la función $f$ respecto a $y$
\[\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-xe^{y}- sen(x)cos(y)+ g(y))\]
\[\frac{\partial f}{\partial y}=-xe^{y}+sen(x)sen(y)+g'(y)\]
Recordamos que $\frac{\partial f}{\partial y}=N$ y reemplazamos para hallar la derivada de la función $g(y)$:
\[sen(x)sen(y)-xe^{y}=-xe^{y}+sen(x)sen(y)+g'(y)\]
\[g'(y)=0\]
Luego integrando respecto a $y$ tenemos:
\[\int g'(y)dy=\int 0 dy\]
\[ g(y)=c\]
Luego la solución queda reemplazando el valor de $g(y)$ en $f$
\[-xe^{y}-sen(x)cos(y)+c=0\]
\[xe^{y}+sen(x)cos(y)=c\]
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