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¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales exactas? 2

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 7 de ecuaciones homogéneas del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición, del autor George F. Simmons
El problema es el siguiente:
Determinar si la ecuación es exacta y resolverla
(sen(x)sen(y)xey)dy=(ey+cos(x)cos(y))dx

Primero debemos igualar a cero para poder calcular las respectivas derivadas y tendremos:
(ey+cos(x)cos(y))dx+(sen(x)sen(y)xey)dy=0

Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente:
2fyx=2fxy

O como normalmente se muestra:
My=Nx

Corresponde a la ecuación diferencial:
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

Luego podemos identificar las funciones M=fx y N=fy
El problema es hallar la función f que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso).
Calculamos la derivada parcial de M respecto a y, del problema que vamos a intentar solucionar:
My=y((ey+cos(x)cos(y)))=y(eycos(x)cos(y))

=ey+cos(x)sen(y)

Ahora calculamos la derivada parcial de N respecto a x
Nx=x(sen(x)sen(y)xey)

=ey+cos(x)sen(y)

Luego podemos ver que ambos resultados son iguales
My=Nx

Corresponde a una ecuación diferencial exacta, ahora pasamos a hallar nuestra función f como sigue:
f=Mdx+g(y)

Reemplazamos M e integramos:
f=(eycos(x)cos(y))dx+g(y)

Aplicamos linealidad e integramos:
f=eydxcos(x)cos(y)dx+g(y)

f=xeysen(x)cos(y)+g(y)

Derivamos parcialmente la función f respecto a y
fy=y(xeysen(x)cos(y)+g(y))

fy=xey+sen(x)sen(y)+g(y)

Recordamos que fy=N y reemplazamos para hallar la derivada de la función g(y):
sen(x)sen(y)xey=xey+sen(x)sen(y)+g(y)

g(y)=0

Luego integrando respecto a y tenemos:
g(y)dy=0dy

g(y)=c

Luego la solución queda reemplazando el valor de g(y) en f
xeysen(x)cos(y)+c=0

xey+sen(x)cos(y)=c

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