¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales exactas? 5

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 22 de ecuaciones homogéneas del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición, del autor George F. Simmons
El problema es el siguiente:
Hallar el valor de $n$ para el cuál cada una de las ecuaciones siguientes es exacta y resolver para ese valor de $n$:
b) $(x+ye^{2xy})dx+(nxe^{2xy})dy=0$
Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente:
$$\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}$$
O como normalmente se muestra:
$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$
Corresponde a la ecuación diferencial:
$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$
Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$
El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso).
Calculamos la derivada parcial de $M$ respecto a $y$:
$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x+ye^{2xy})$$
$$=2xye^{2xy}$$

Calculamos la derivada parcial de $N$ respecto a $x$:
$$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(nxe^{2xy})$$
$$=2ynxe^{2xy}$$

Igualamos las derivadas parciales para hallar el valor de $n$:

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$

$$2xye^{2xy}=2ynxe^{2xy}$$

$$n=1$$

Reemplazamos este valor en nuestra ecuación diferencial:

$$(x+ye^{2xy})dx+(xe^{2xy})dy=0$$

ahora pasamos a hallar nuestra función $f$ como sigue:

$$f=\int Ndx + h(x)$$
$$f=\int xe^{2xy}dy+h(x)$$
$$f=\frac{e^{2xy}}{2}+h(x)$$
Derivamos parcialmente respecto a $x$:
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{e^{2xy}}{2}+h(x)\right)$$
$$\frac{\partial f}{\partial x}=ye^{2xy}+h'(x)$$
Como $\frac{\partial f}{\partial x}=M$, igualamos y despejamos el valor de $h'(x)$
$$x+ye^{2xy}=ye^{2xy}+h'(x)$$
$$h'(x)=x$$
Integramos respecto a $x$:
$$\int h'(x)dx=\int xdx$$
$$h(x)=\frac{x^{2}}{2}+C$$
Reemplazamos este valor y obtenemos la respuesta a nuestra ecuación diferencial:
$$\frac{e^{2xy}}{2}+\frac{x^{2}}{2}=C$$
$$e^{2xy}+x^{2}=2C$$