En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 22 de ecuaciones homogéneas del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición, del autor George F. Simmons
El problema es el siguiente:
Hallar el valor de $n$ para el cuál cada una de las ecuaciones siguientes es exacta y resolver para ese valor de $n$:
b) $(x+ye^{2xy})dx+(nxe^{2xy})dy=0$
Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente:
\[\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}\]
O como normalmente se muestra:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\]
Corresponde a la ecuación diferencial:
\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\]
Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$
El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso).
Calculamos la derivada parcial de $M$ respecto a $y$:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x+ye^{2xy})\]
\[=2xye^{2xy}\]
El problema es el siguiente:
Hallar el valor de $n$ para el cuál cada una de las ecuaciones siguientes es exacta y resolver para ese valor de $n$:
b) $(x+ye^{2xy})dx+(nxe^{2xy})dy=0$
Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente:
\[\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}\]
O como normalmente se muestra:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\]
Corresponde a la ecuación diferencial:
\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\]
Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$
El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso).
Calculamos la derivada parcial de $M$ respecto a $y$:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x+ye^{2xy})\]
\[=2xye^{2xy}\]
Calculamos la derivada parcial de $N$ respecto a $x$:
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(nxe^{2xy})\]
\[=2ynxe^{2xy}\]
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(nxe^{2xy})\]
\[=2ynxe^{2xy}\]
Igualamos las derivadas parciales para hallar el valor de $n$:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\]
\[2xye^{2xy}=2ynxe^{2xy}\]
\[n=1\]
Reemplazamos este valor en nuestra ecuación diferencial:
\[(x+ye^{2xy})dx+(xe^{2xy})dy=0\]
ahora pasamos a hallar nuestra función $f$ como sigue:
\[f=\int Ndx + h(x)\]
\[f=\int xe^{2xy}dy+h(x)\]
\[f=\frac{e^{2xy}}{2}+h(x)\]
Derivamos parcialmente respecto a $x$:
\[\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{e^{2xy}}{2}+h(x)\right)\]
\[\frac{\partial f}{\partial x}=ye^{2xy}+h'(x)\]
Como $\frac{\partial f}{\partial x}=M$, igualamos y despejamos el valor de $h'(x)$
\[x+ye^{2xy}=ye^{2xy}+h'(x)\]
\[h'(x)=x\]
Integramos respecto a $x$:
\[\int h'(x)dx=\int xdx\]
\[h(x)=\frac{x^{2}}{2}+C\]
Reemplazamos este valor y obtenemos la respuesta a nuestra ecuación diferencial:
\[\frac{e^{2xy}}{2}+\frac{x^{2}}{2}=C\]
\[e^{2xy}+x^{2}=2C\]
\[f=\int xe^{2xy}dy+h(x)\]
\[f=\frac{e^{2xy}}{2}+h(x)\]
Derivamos parcialmente respecto a $x$:
\[\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{e^{2xy}}{2}+h(x)\right)\]
\[\frac{\partial f}{\partial x}=ye^{2xy}+h'(x)\]
Como $\frac{\partial f}{\partial x}=M$, igualamos y despejamos el valor de $h'(x)$
\[x+ye^{2xy}=ye^{2xy}+h'(x)\]
\[h'(x)=x\]
Integramos respecto a $x$:
\[\int h'(x)dx=\int xdx\]
\[h(x)=\frac{x^{2}}{2}+C\]
Reemplazamos este valor y obtenemos la respuesta a nuestra ecuación diferencial:
\[\frac{e^{2xy}}{2}+\frac{x^{2}}{2}=C\]
\[e^{2xy}+x^{2}=2C\]
Comentarios
Publicar un comentario