¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales exactas? 4

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 22 de ecuaciones homogéneas del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición, del autor George F. Simmons
El problema es el siguiente:
Hallar el valor de $n$ para el cuál cada una de las ecuaciones siguientes es exacta y resolver para ese valor de $n$:
a) $(xy^{2}+nx^{2}y)dx+(x^{3}+x^{2}y)dy=0$
Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente:
$$\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}$$
O como normalmente se muestra:
$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$
Corresponde a la ecuación diferencial:
$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$
Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$
El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso).
Calculamos la derivada parcial de $M$ respecto a $y$:
$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(xy^{2}+nx^{2}y)$$
$$=2xy+nx^{2}$$

Calculamos la derivada parcial de $N$ respecto a $x$:
$$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}+x^{2}y)$$
$$=3x^{2}+2xy$$

Igualamos las derivadas parciales para hallar el valor de $n$:

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$

$$2xy+nx^{2}=3x^{2}+2xy$$

$$nx^{2}=3x^{2}$$

$$n=3$$

Reemplazamos este valor en nuestra ecuación diferencial:

$$(xy^{2}+3x^{2}y)dx+(x^{3}+x^{2}y)dy=0$$

ahora pasamos a hallar nuestra función $f$ como sigue:

$$f=\int Mdx + g(y)$$

Reemplazamos $M$ e integramos:

$$f=\int (xy^{2}+3x^{2}y)dx + g(y)$$

Aplicamos linealidad e integramos:

$$f=\int xy^{2}dx+\int 3x^{2}ydx + g(y)$$

$$f=\frac{x^{2}y^{2}}{2}+x^{3}y+ g(y)$$

Hallamos la derivada de $f$ respecto a $y$:

$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^{2}y^{2}}{2}+x^{3}y+ g(y)\right)$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}y+x^{3}+g'(y)$$

Como $\frac{\partial f}{\partial y}=N$, igualamos a este valor y hallamos el valor de $g'(y)$:

$$x^{3}+x^{2}y=x^{2}y+x^{3}+g'(y)$$

$$g'(y)=0$$

Integramos y obtenemos:

$$g(y)=c$$

Reemplazamos este valor en f y la solución queda como:

$$\frac{x^{2}y^{2}}{2}+x^{3}y=c$$