En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 22 de ecuaciones homogéneas del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición, del autor George F. Simmons
El problema es el siguiente:
Hallar el valor de $n$ para el cuál cada una de las ecuaciones siguientes es exacta y resolver para ese valor de $n$:
a) $(xy^{2}+nx^{2}y)dx+(x^{3}+x^{2}y)dy=0$
Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente:
\[\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}\]
O como normalmente se muestra:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\]
Corresponde a la ecuación diferencial:
\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\]
Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$
El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso).
Calculamos la derivada parcial de $M$ respecto a $y$:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(xy^{2}+nx^{2}y)\]
\[=2xy+nx^{2}\]
El problema es el siguiente:
Hallar el valor de $n$ para el cuál cada una de las ecuaciones siguientes es exacta y resolver para ese valor de $n$:
a) $(xy^{2}+nx^{2}y)dx+(x^{3}+x^{2}y)dy=0$
Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente:
\[\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}\]
O como normalmente se muestra:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\]
Corresponde a la ecuación diferencial:
\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\]
Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$
El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso).
Calculamos la derivada parcial de $M$ respecto a $y$:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(xy^{2}+nx^{2}y)\]
\[=2xy+nx^{2}\]
Calculamos la derivada parcial de $N$ respecto a $x$:
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}+x^{2}y)\]
\[=3x^{2}+2xy\]
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}+x^{2}y)\]
\[=3x^{2}+2xy\]
Igualamos las derivadas parciales para hallar el valor de $n$:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\]
\[2xy+nx^{2}=3x^{2}+2xy\]
\[nx^{2}=3x^{2}\]
\[n=3\]
Reemplazamos este valor en nuestra ecuación diferencial:
\[(xy^{2}+3x^{2}y)dx+(x^{3}+x^{2}y)dy=0\]
ahora pasamos a hallar nuestra función $f$ como sigue:
\[f=\int Mdx + g(y)\]
Reemplazamos $M$ e integramos:
\[f=\int (xy^{2}+3x^{2}y)dx + g(y)\]
Aplicamos linealidad e integramos:
\[f=\int xy^{2}dx+\int 3x^{2}ydx + g(y)\]
\[f=\frac{x^{2}y^{2}}{2}+x^{3}y+ g(y)\]
Hallamos la derivada de $f$ respecto a $y$:
\[\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^{2}y^{2}}{2}+x^{3}y+ g(y)\right)\]
\[\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}y+x^{3}+g'(y)\]
Como $\frac{\partial f}{\partial y}=N$, igualamos a este valor y hallamos el valor de $g'(y)$:
\[x^{3}+x^{2}y=x^{2}y+x^{3}+g'(y)\]
\[g'(y)=0\]
Integramos y obtenemos:
\[g(y)=c\]
Reemplazamos este valor en f y la solución queda como:
\[\frac{x^{2}y^{2}}{2}+x^{3}y=c\]
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