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¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales exactas? 1

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 6 de ecuaciones homogéneas del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición, del autor George F. Simmons
El problema es el siguiente:
Determinar si la ecuación es exacta y resolverla
\[cos(x)cos^{2}ydx+2sen(x)sen(y)cos(y)dy=0\]
Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente:
\[\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}\]
O como normalmente se muestra:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\]
Corresponde a la ecuación diferencial:
\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\]
Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$
El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso).
Calculamos la derivada parcial de $M$ respecto a $y$, del problema que vamos a intentar solucionar:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(cos(x)cos^{2}(y))\]
\[=-2cos(x)cos(y)sen(y)\]
Ahora calculamos la derivada parcial de $N$ respecto a $x$
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2sen(x)sen(y)cos(y))\]
\[=2cos(x)cos(y)sen(y)\]
Luego podemos observar que los resultados son diferentes por el signo $-$:
\[\frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x}\]
Esto debido a que uno es el inverso aditivo del otro:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=-\frac{\partial N}{\partial x}\]
Por lo tanto no es una ecuación exacta.
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