¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales con factor integrante? 3

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 2.d de ecuaciones con factor integrante del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición, del autor George F. Simmons
El problema es el siguiente:
Resolver cada una de estas ecuaciones hallando un factor integrante:
$$e^{x}dx+(e^{x}cot(y)+2y csc(y))dy=0$$
Este libro nos propone hallar de dos formas los factores integrantes:
$$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=g(x)$$
$$\mu(x)=e^{\int g(x)dx}$$
y
$$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{-M}=h(y)$$
$$\mu(y)=e^{\int h(y)dy}$$
Como ambos factores integrantes tienen el mismo numerador, calculamos las derivadas parciales:
$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(e^{x})$$
$$\frac{\partial M}{\partial y}=0$$
$$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(e^{x}cot(y)+2ycsc(y))$$
$$\frac{\partial N}{\partial x}=e^{x}cot(y)$$
Calculamos las funciones $g(x)$ y $h(y)$:
$$g(x)=-\frac{e^{x}cot(y)}{e^{x}cot(y)+2y csc(y)}$$
$$h(y)=\frac{-e^{x}cot(y)}{-e^{x}}$$
$$h(y)=cot(y)$$
Podemos ver que la función $h(y)$, es más fácil de obtener, entonces procedemos a calcular el factor integrante:
$$\mu(y)=e^{\int cot(y)dy}$$
De acuerdo a la integral de cotangente el factor integrante queda de la forma:
$$\mu(y)=e^{ln(sen(y))}$$
$$\mu(y)=sen(y)$$
Luego la ecuación diferencial me queda como:
$$e^{x}sen(y)dx+e^{x}sen(y)cot(y)dy+2ycsc(y)sen(y)dy=0$$
Recordando las razones trigonométricas $cot(y)=\frac{cos(y)}{sen(y)}$ y $csc(y)=\frac{1}{sen(y)}$, la ecuación diferencial queda así:
$$e^{x}sen(y)dx+e^{x}cos(y)dy+2ydy=0$$
$$e^{x}sen(y)dx+e^{x}cos(y)dy=-2ydy$$
Los dos primeros términos representan la derivada de un producto, y finalmente podemos integrar ambas expresiones:
$$\frac{d}{dy}(e^{x}sen(y))=-2y$$
$$\int\frac{d}{dy}(e^{x}sen(y))dy=-2\int ydy$$
La integración de los primeros términos es la cantidad que está en el operador, y la integración del segundo miembro es fundamental, por lo tanto llegamos a la respuesta de nuestra ecuación diferencial:
$$e^{x}sen(y)=-y^{2}+C$$
$$e^{x}sen(y)+y^{2}=C$$