En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 2.d de ecuaciones con factor integrante del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición, del autor George F. Simmons
El problema es el siguiente:
Resolver cada una de estas ecuaciones hallando un factor integrante:
\[e^{x}dx+(e^{x}cot(y)+2y csc(y))dy=0\]
Este libro nos propone hallar de dos formas los factores integrantes:
\[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=g(x)\]
\[\mu(x)=e^{\int g(x)dx}\]
y
\[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{-M}=h(y)\]
\[\mu(y)=e^{\int h(y)dy}\]
Como ambos factores integrantes tienen el mismo numerador, calculamos las derivadas parciales:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(e^{x})\]
\[\frac{\partial M}{\partial y}=0\]
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(e^{x}cot(y)+2ycsc(y))\]
\[\frac{\partial N}{\partial x}=e^{x}cot(y)\]
Calculamos las funciones $g(x)$ y $h(y)$:
\[g(x)=-\frac{e^{x}cot(y)}{e^{x}cot(y)+2y csc(y)}\]
\[h(y)=\frac{-e^{x}cot(y)}{-e^{x}}\]
\[h(y)=cot(y)\]
Podemos ver que la función $h(y)$, es más fácil de obtener, entonces procedemos a calcular el factor integrante:
\[\mu(y)=e^{\int cot(y)dy}\]
De acuerdo a la integral de cotangente el factor integrante queda de la forma:
\[\mu(y)=e^{ln(sen(y))}\]
\[\mu(y)=sen(y)\]
Luego la ecuación diferencial me queda como:
\[e^{x}sen(y)dx+e^{x}sen(y)cot(y)dy+2ycsc(y)sen(y)dy=0\]
Recordando las razones trigonométricas $cot(y)=\frac{cos(y)}{sen(y)}$ y $csc(y)=\frac{1}{sen(y)}$, la ecuación diferencial queda así:
\[e^{x}sen(y)dx+e^{x}cos(y)dy+2ydy=0\]
\[e^{x}sen(y)dx+e^{x}cos(y)dy=-2ydy\]
Los dos primeros términos representan la derivada de un producto, y finalmente podemos integrar ambas expresiones:
\[\frac{d}{dy}(e^{x}sen(y))=-2y\]
\[\int\frac{d}{dy}(e^{x}sen(y))dy=-2\int ydy\]
La integración de los primeros términos es la cantidad que está en el operador, y la integración del segundo miembro es fundamental, por lo tanto llegamos a la respuesta de nuestra ecuación diferencial:
\[e^{x}sen(y)=-y^{2}+C\]
\[e^{x}sen(y)+y^{2}=C\]
El problema es el siguiente:
Resolver cada una de estas ecuaciones hallando un factor integrante:
\[e^{x}dx+(e^{x}cot(y)+2y csc(y))dy=0\]
Este libro nos propone hallar de dos formas los factores integrantes:
\[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=g(x)\]
\[\mu(x)=e^{\int g(x)dx}\]
y
\[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{-M}=h(y)\]
\[\mu(y)=e^{\int h(y)dy}\]
Como ambos factores integrantes tienen el mismo numerador, calculamos las derivadas parciales:
\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(e^{x})\]
\[\frac{\partial M}{\partial y}=0\]
\[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(e^{x}cot(y)+2ycsc(y))\]
\[\frac{\partial N}{\partial x}=e^{x}cot(y)\]
Calculamos las funciones $g(x)$ y $h(y)$:
\[g(x)=-\frac{e^{x}cot(y)}{e^{x}cot(y)+2y csc(y)}\]
\[h(y)=\frac{-e^{x}cot(y)}{-e^{x}}\]
\[h(y)=cot(y)\]
Podemos ver que la función $h(y)$, es más fácil de obtener, entonces procedemos a calcular el factor integrante:
\[\mu(y)=e^{\int cot(y)dy}\]
De acuerdo a la integral de cotangente el factor integrante queda de la forma:
\[\mu(y)=e^{ln(sen(y))}\]
\[\mu(y)=sen(y)\]
Luego la ecuación diferencial me queda como:
\[e^{x}sen(y)dx+e^{x}sen(y)cot(y)dy+2ycsc(y)sen(y)dy=0\]
Recordando las razones trigonométricas $cot(y)=\frac{cos(y)}{sen(y)}$ y $csc(y)=\frac{1}{sen(y)}$, la ecuación diferencial queda así:
\[e^{x}sen(y)dx+e^{x}cos(y)dy+2ydy=0\]
\[e^{x}sen(y)dx+e^{x}cos(y)dy=-2ydy\]
Los dos primeros términos representan la derivada de un producto, y finalmente podemos integrar ambas expresiones:
\[\frac{d}{dy}(e^{x}sen(y))=-2y\]
\[\int\frac{d}{dy}(e^{x}sen(y))dy=-2\int ydy\]
La integración de los primeros términos es la cantidad que está en el operador, y la integración del segundo miembro es fundamental, por lo tanto llegamos a la respuesta de nuestra ecuación diferencial:
\[e^{x}sen(y)=-y^{2}+C\]
\[e^{x}sen(y)+y^{2}=C\]
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