¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales con factor integrante? 1

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 18 de ecuaciones lineales con factor integrante del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
El problema es el siguiente:
\[\frac{dy}{dx}+ycot(x)=2cos(x)\]
Identificamos con la ecuación diferencial lineal:
\[\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)\]
Donde el factor integrante se obtiene a partir de:
\[\mu(x)=e^{\int P(x)dx}\]
Para que nuestra ecuación diferencial quede de la forma:
\[e^{\int P(x)dx}\frac{dy}{dx}+e^{\int P(x)dx}P(x)y=e^{\int P(x)dx}f(x)\]
La cuál ya es una ecuación diferencial exacta debido al factor integrante.
Hallamos dicho factor integrante:
\[\mu(x)=e^{\int cot(x)dx}\]
La integral de la función cotangente es la siguiente:
\[\int cot(x)dx=ln(sen(x))+C\]
El factor integrante nos queda de la forma:
\[\mu(x)=e^{ln(sen(x))}=sen(x)\]
Así nuestra ecuación diferencial a resolver toma la forma:
\[sen(x)\frac{dy}{dx}+ysen(x)cot(x)=2sen(x)cos(x)\]
Volvemos a recordar la razón trigonométrica de cotangente, en razón de seno y coseno $cot(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}$, y la identidad de ángulo doble para la función seno, $sen(2x)=2senxcosx$ para simplificar nuestra ecuación diferencial:
\[sen(x)\frac{dy}{dx}+ycos(x)=sen(2x)\]
Los primeros términos los podemos representar como la derivada de un producto:
\[\frac{d}{dx}(ysen(x))=sen(2x)\]
Integramos y obtenemos la respuesta a nuestra ecuación diferencial:
\[\int \frac{d}{dx}(ysen(x))dx=\int sen(2x) dx\]
Para el primer término, la integral corresponde al término entre la derivada, y para la integral del segundo término será:
\[ysen(x)=-\frac{1}{2}cos(2x)+C\]
Que podemos expresar de una mejor forma como:
\[y=-\frac{cos(2x)}{2sen(x)}+C\]
Y está función está definida en los intervalos $0<x<\pi$