En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 41 de ecuaciones lineales con factor integrante del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
El problema es el siguiente:
\[L\frac{di}{dt}+Ri=E\]
Con $L$, $R$ y $E$ son constantes, y de acuerdo a la condición inicial $i(0)=i_{0}$
Identificamos con la ecuación diferencial lineal:
\[\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)\]
Donde el factor integrante se obtiene a partir de:
\[\mu(x)=e^{\int P(x)dx}\]
Para que nuestra ecuación diferencial quede de la forma:
\[e^{\int P(x)dx}\frac{dy}{dx}+e^{\int P(x)dx}P(x)y=e^{\int P(x)dx}f(x)\]
La cuál ya es una ecuación diferencial exacta debido al factor integrante.
Así nuestra ecuación diferencial queda de la forma:
\[\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}\]
Hallamos dicho factor integrante:
\[\mu(t)=e^{\int \frac{R}{L}dt}=e^{\frac{R}{L}t}\]
Así nuestra ecuación diferencial queda de la forma:
\[e^{\frac{R}{L}t}\frac{di}{dt}+e^{\frac{R}{L}t}\frac{R}{L}i=e^{\frac{R}{L}t}\frac{E}{L}\]
Los primeros dos términos se pueden expresar como la derivada de un producto de funciones:
\[\frac{d}{dt}\left(e^{\frac{R}{L}t}i\right)=e^{\frac{R}{L}t}\frac{E}{L}\]
Integramos a ambos lados, para el primer término la integral de la derivada es el termino dentro del operador derivada, y la integral del segundo término es una integral fundamental, que requiere un pequeño cambio de variable:
\[\int \frac{d}{dt}\left(e^{\frac{R}{L}t}i\right)dt=\int e^{\frac{R}{L}t}\frac{E}{L}dt\]
\[e^{\frac{R}{L}t}i=\frac{E}{R}e^{\frac{R}{L}t}+C\]
Aplicamos la condición inicial $i(0)=i_{0}$ para hallar la constante de integración:
\[e^{\frac{R}{L}(0)}i_{0}=\frac{E}{R}e^{\frac{R}{L}(0)}+C\]
\[i_{0}=\frac{E}{R}+C\]
\[C=i_{0}-\frac{E}{R}\]
Así nuestra ecuación diferencial toma la forma:
\[e^{\frac{R}{L}t}i=\frac{E}{R}e^{\frac{R}{L}t}+i_{0}-\frac{E}{R}\]
Que puede escribirse de mejor manera como:
\[i(t)=\frac{E}{R}+e^{-\frac{R}{L}t}\left(i_{0}-\frac{E}{R}\right)\]
Hemos encontrado finalmente la solución a nuestra ecuación diferencial dada la condición inicial.
El problema es el siguiente:
\[L\frac{di}{dt}+Ri=E\]
Con $L$, $R$ y $E$ son constantes, y de acuerdo a la condición inicial $i(0)=i_{0}$
Identificamos con la ecuación diferencial lineal:
\[\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)\]
Donde el factor integrante se obtiene a partir de:
\[\mu(x)=e^{\int P(x)dx}\]
Para que nuestra ecuación diferencial quede de la forma:
\[e^{\int P(x)dx}\frac{dy}{dx}+e^{\int P(x)dx}P(x)y=e^{\int P(x)dx}f(x)\]
La cuál ya es una ecuación diferencial exacta debido al factor integrante.
Así nuestra ecuación diferencial queda de la forma:
\[\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}\]
Hallamos dicho factor integrante:
\[\mu(t)=e^{\int \frac{R}{L}dt}=e^{\frac{R}{L}t}\]
Así nuestra ecuación diferencial queda de la forma:
\[e^{\frac{R}{L}t}\frac{di}{dt}+e^{\frac{R}{L}t}\frac{R}{L}i=e^{\frac{R}{L}t}\frac{E}{L}\]
Los primeros dos términos se pueden expresar como la derivada de un producto de funciones:
\[\frac{d}{dt}\left(e^{\frac{R}{L}t}i\right)=e^{\frac{R}{L}t}\frac{E}{L}\]
Integramos a ambos lados, para el primer término la integral de la derivada es el termino dentro del operador derivada, y la integral del segundo término es una integral fundamental, que requiere un pequeño cambio de variable:
\[\int \frac{d}{dt}\left(e^{\frac{R}{L}t}i\right)dt=\int e^{\frac{R}{L}t}\frac{E}{L}dt\]
\[e^{\frac{R}{L}t}i=\frac{E}{R}e^{\frac{R}{L}t}+C\]
Aplicamos la condición inicial $i(0)=i_{0}$ para hallar la constante de integración:
\[e^{\frac{R}{L}(0)}i_{0}=\frac{E}{R}e^{\frac{R}{L}(0)}+C\]
\[i_{0}=\frac{E}{R}+C\]
\[C=i_{0}-\frac{E}{R}\]
Así nuestra ecuación diferencial toma la forma:
\[e^{\frac{R}{L}t}i=\frac{E}{R}e^{\frac{R}{L}t}+i_{0}-\frac{E}{R}\]
Que puede escribirse de mejor manera como:
\[i(t)=\frac{E}{R}+e^{-\frac{R}{L}t}\left(i_{0}-\frac{E}{R}\right)\]
Hemos encontrado finalmente la solución a nuestra ecuación diferencial dada la condición inicial.
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