En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 40 de ecuaciones homogéneas del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
La ecuación diferencial a resolver es la siguiente:
\[ydx+x(ln(x)-ln(y)-1)dy=0\]
Con condición inicial $y(1)=e$ (Las condiciones iniciales se utilizan para hallar la constante de integración).
Los términos al lado de los diferenciales tienen grado $0$, por lo tanto es posible resolver la ecuación diferencial mediante el método de las ecuaciones diferenciales homogéneas.
El cambio de variable para la ecuación diferencial es:
\[u=yln(x)\]
Calculamos sus derivadas:
\[du=ln(x)dy+\frac{y}{x}dx\]
Despejamos $\frac{y}{x}dx$:
\[\frac{y}{x}dx=du-ln(x)dy\]
Si dividimos nuestra ecuación diferencial por $x$, nos quedara de la forma:
\[\frac{y}{x}dx+(ln(x)-ln(y)-1)dy=0\]
Cambiamos el valor $\frac{y}{x}dx$ que obtuvimos anteriormente a nuestra ecuación diferencial, quedando ya separadas las variables:
\[du-(ln(y)-1)dy=0\]
\[du=(ln(y)-1)dy\]
Podemos integrar:
\[\int du=\int (ln(y)-1)dy\]
La integral del logaritmo natural es: $y(ln(y)-1)$
\[u+C_{1}=y(ln(y)-1)-y+C_{2}\]
Deshacemos el cambio de variable:
\[yln(x)+C_{1}=y(ln(y)-1)-y+C_{2}\]
\[yln(x)=y(ln(y)-1)-y+C_{2}-C_{1}\]
\[yln(x)=y(ln(y)-1)-y+K\]
Donde $K=C_{2}-C_{1}$, ahora hallamos la constante $K$ mediante la condición inicial propuesta $y(1)=e$, donde el valor de $x=1$ y el valor de $y$ en ese punto es $e$, encontramos el valor $K=e$.
Así la ecuación diferencial queda de la forma:
\[yln(x)=y(ln(y)-1)-y+e\]
La ecuación diferencial a resolver es la siguiente:
\[ydx+x(ln(x)-ln(y)-1)dy=0\]
Con condición inicial $y(1)=e$ (Las condiciones iniciales se utilizan para hallar la constante de integración).
Los términos al lado de los diferenciales tienen grado $0$, por lo tanto es posible resolver la ecuación diferencial mediante el método de las ecuaciones diferenciales homogéneas.
El cambio de variable para la ecuación diferencial es:
\[u=yln(x)\]
Calculamos sus derivadas:
\[du=ln(x)dy+\frac{y}{x}dx\]
Despejamos $\frac{y}{x}dx$:
\[\frac{y}{x}dx=du-ln(x)dy\]
Si dividimos nuestra ecuación diferencial por $x$, nos quedara de la forma:
\[\frac{y}{x}dx+(ln(x)-ln(y)-1)dy=0\]
Cambiamos el valor $\frac{y}{x}dx$ que obtuvimos anteriormente a nuestra ecuación diferencial, quedando ya separadas las variables:
\[du-(ln(y)-1)dy=0\]
\[du=(ln(y)-1)dy\]
Podemos integrar:
\[\int du=\int (ln(y)-1)dy\]
La integral del logaritmo natural es: $y(ln(y)-1)$
\[u+C_{1}=y(ln(y)-1)-y+C_{2}\]
Deshacemos el cambio de variable:
\[yln(x)+C_{1}=y(ln(y)-1)-y+C_{2}\]
\[yln(x)=y(ln(y)-1)-y+C_{2}-C_{1}\]
\[yln(x)=y(ln(y)-1)-y+K\]
Donde $K=C_{2}-C_{1}$, ahora hallamos la constante $K$ mediante la condición inicial propuesta $y(1)=e$, donde el valor de $x=1$ y el valor de $y$ en ese punto es $e$, encontramos el valor $K=e$.
Así la ecuación diferencial queda de la forma:
\[yln(x)=y(ln(y)-1)-y+e\]
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