En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 40 de ecuaciones homogéneas del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
La ecuación diferencial a resolver es la siguiente:
ydx+x(ln(x)−ln(y)−1)dy=0
Con condición inicial y(1)=e (Las condiciones iniciales se utilizan para hallar la constante de integración).
Los términos al lado de los diferenciales tienen grado 0, por lo tanto es posible resolver la ecuación diferencial mediante el método de las ecuaciones diferenciales homogéneas.
El cambio de variable para la ecuación diferencial es:
u=yln(x)
Calculamos sus derivadas:
du=ln(x)dy+yxdx
Despejamos yxdx:
yxdx=du−ln(x)dy
Si dividimos nuestra ecuación diferencial por x, nos quedara de la forma:
yxdx+(ln(x)−ln(y)−1)dy=0
Cambiamos el valor yxdx que obtuvimos anteriormente a nuestra ecuación diferencial, quedando ya separadas las variables:
du−(ln(y)−1)dy=0
du=(ln(y)−1)dy
Podemos integrar:
∫du=∫(ln(y)−1)dy
La integral del logaritmo natural es: y(ln(y)−1)
u+C1=y(ln(y)−1)−y+C2
Deshacemos el cambio de variable:
yln(x)+C1=y(ln(y)−1)−y+C2
yln(x)=y(ln(y)−1)−y+C2−C1
yln(x)=y(ln(y)−1)−y+K
Donde K=C2−C1, ahora hallamos la constante K mediante la condición inicial propuesta y(1)=e, donde el valor de x=1 y el valor de y en ese punto es e, encontramos el valor K=e.
Así la ecuación diferencial queda de la forma:
yln(x)=y(ln(y)−1)−y+e
La ecuación diferencial a resolver es la siguiente:
ydx+x(ln(x)−ln(y)−1)dy=0
Con condición inicial y(1)=e (Las condiciones iniciales se utilizan para hallar la constante de integración).
Los términos al lado de los diferenciales tienen grado 0, por lo tanto es posible resolver la ecuación diferencial mediante el método de las ecuaciones diferenciales homogéneas.
El cambio de variable para la ecuación diferencial es:
u=yln(x)
Calculamos sus derivadas:
du=ln(x)dy+yxdx
Despejamos yxdx:
yxdx=du−ln(x)dy
Si dividimos nuestra ecuación diferencial por x, nos quedara de la forma:
yxdx+(ln(x)−ln(y)−1)dy=0
Cambiamos el valor yxdx que obtuvimos anteriormente a nuestra ecuación diferencial, quedando ya separadas las variables:
du−(ln(y)−1)dy=0
du=(ln(y)−1)dy
Podemos integrar:
∫du=∫(ln(y)−1)dy
La integral del logaritmo natural es: y(ln(y)−1)
u+C1=y(ln(y)−1)−y+C2
Deshacemos el cambio de variable:
yln(x)+C1=y(ln(y)−1)−y+C2
yln(x)=y(ln(y)−1)−y+C2−C1
yln(x)=y(ln(y)−1)−y+K
Donde K=C2−C1, ahora hallamos la constante K mediante la condición inicial propuesta y(1)=e, donde el valor de x=1 y el valor de y en ese punto es e, encontramos el valor K=e.
Así la ecuación diferencial queda de la forma:
yln(x)=y(ln(y)−1)−y+e
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