¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden homogéneas? 1

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 19 de ecuaciones homogéneas del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
La ecuación diferencial a resolver es la siguiente:
\[-ydx+(x+\sqrt{xy})dy=0\]
Los términos al lado de los diferenciales tienen grado $1$, por lo tanto es posible resolver la ecuación diferencial mediante el método de las ecuaciones diferenciales homogéneas.
El cambio de variable para que sea una ecuación diferencial separable es:
\[u=\frac{x}{y}\]
Hallamos la derivada:
\[du=\frac{ydx-xdy}{y^{2}}\]
Despejamos $ydx$
\[ydx=y^{2}du+xdy\]
\[-ydx=-y^{2}du-xdy\]
Reemplazamos este resultado en nuestra ecuación diferencial, además el término de la raíz cuadrada queda $\sqrt{xy}=\sqrt{u}y$, la nueva ecuación diferencial será:
\[-y^{2}du-\sqrt{u}ydy=0\]
Dividiendo por $y$ toda la ecuación diferencial, finalmente podemos separar variables e integrar:
\[-ydu-\sqrt{u}dy=0\]
\[ydu+\sqrt{u}dy=0\]
\[ydu=-\sqrt{u}dy\]
\[-\frac{du}{\sqrt{u}}=\frac{dy}{y}\]
\[-\int \frac{du}{\sqrt{u}}=\int \frac{dy}{y}\]
\[-\frac{\sqrt{u}}{2}+C_{1}=ln(y)+C_{2}\]
Deshacemos el cambio de variable:
\[-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y}}+C_{1}=ln(y)+C_{2}\]
\[-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y}}+C_{1}-ln(y)-C_{2}=0\]
\[\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y}}-C_{1}+ln(y)+C_{2}=0\]
\[\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y}}+ln(y)=C_{1}-C_{2}\]
\[\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y}}+ln(y)=K\]
Donde $K=C_{1}-C_{2}$, y hemos hallado la solución a la ecuación diferencial propuesta.