En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 48 de ecuaciones homogéneas del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
El problema es el siguiente:
Suponga que M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es una ecuación homogénea. Pruebe que las sustituciones x=rcosθ y y=rsenθ reducen la ecuación a una de variables separables
Como x=rcosθ, y y=rsenθ hallamos sus derivadas:
dx=cosθdr−rsenθdθ
dy=senθdr+rcosθdθ
Luego es posible realizar el cambio de variable con sus respectivas derivadas:
M(rcosθ,rsenθ)(cosθdr−rsenθdθ)+N(rcosθ,rsenθ)(senθdr+rcosθdθ)=0
Debido a la homogeneidad de M y N:
rM(cosθ,senθ)(cosθdr−rsenθdθ)+rN(cosθ,senθ)(senθdr+rcosθdθ)=0
Separamos términos:
rM(cosθ,senθ)cosθdr−r2M(cosθ,senθ)senθdθ)+rN(cosθ,senθ)senθdr+r2N(cosθ,senθ)cosθdθ=0
Dividimos toda la expresión por r:
M(cosθ,senθ)cosθdr−rM(cosθ,senθ)senθdθ)+N(cosθ,senθ)senθdr+rN(cosθ,senθ)cosθdθ=0
Agrupamos téminos respecto a dr y respecto a dθ:
[M(cosθ,senθ)cosθ+N(cosθ,senθ)senθ]dr−r[M(cosθ,senθ)senθ−N(cosθ,senθ)cosθ]dθ=0
[M(cosθ,senθ)cosθ+N(cosθ,senθ)senθ]dr=r[M(cosθ,senθ)senθ−N(cosθ,senθ)cosθ]dθ
Separamos variables y llegamos al resultado que nos pide el problema:
drr=[M(cosθ,senθ)senθ−N(cosθ,senθ)cosθ][M(cosθ,senθ)cosθ+N(cosθ,senθ)senθ]dθ
Luego podemos extender un poco mas el resultado, esto debido a que conocemos la integral respecto a r:
ln(r)=∫[M(cosθ,senθ)senθ−N(cosθ,senθ)cosθ][M(cosθ,senθ)cosθ+N(cosθ,senθ)senθ]dθ
Aplicamos propiedades de logaritmo natural y finalmente obtenemos:
r=e∫[M(cosθ,senθ)senθ−N(cosθ,senθ)cosθ][M(cosθ,senθ)cosθ+N(cosθ,senθ)senθ]dθ+K
El problema es el siguiente:
Suponga que M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es una ecuación homogénea. Pruebe que las sustituciones x=rcosθ y y=rsenθ reducen la ecuación a una de variables separables
Como x=rcosθ, y y=rsenθ hallamos sus derivadas:
dx=cosθdr−rsenθdθ
dy=senθdr+rcosθdθ
Luego es posible realizar el cambio de variable con sus respectivas derivadas:
M(rcosθ,rsenθ)(cosθdr−rsenθdθ)+N(rcosθ,rsenθ)(senθdr+rcosθdθ)=0
Debido a la homogeneidad de M y N:
rM(cosθ,senθ)(cosθdr−rsenθdθ)+rN(cosθ,senθ)(senθdr+rcosθdθ)=0
Separamos términos:
rM(cosθ,senθ)cosθdr−r2M(cosθ,senθ)senθdθ)+rN(cosθ,senθ)senθdr+r2N(cosθ,senθ)cosθdθ=0
Dividimos toda la expresión por r:
M(cosθ,senθ)cosθdr−rM(cosθ,senθ)senθdθ)+N(cosθ,senθ)senθdr+rN(cosθ,senθ)cosθdθ=0
Agrupamos téminos respecto a dr y respecto a dθ:
[M(cosθ,senθ)cosθ+N(cosθ,senθ)senθ]dr−r[M(cosθ,senθ)senθ−N(cosθ,senθ)cosθ]dθ=0
[M(cosθ,senθ)cosθ+N(cosθ,senθ)senθ]dr=r[M(cosθ,senθ)senθ−N(cosθ,senθ)cosθ]dθ
Separamos variables y llegamos al resultado que nos pide el problema:
drr=[M(cosθ,senθ)senθ−N(cosθ,senθ)cosθ][M(cosθ,senθ)cosθ+N(cosθ,senθ)senθ]dθ
Luego podemos extender un poco mas el resultado, esto debido a que conocemos la integral respecto a r:
ln(r)=∫[M(cosθ,senθ)senθ−N(cosθ,senθ)cosθ][M(cosθ,senθ)cosθ+N(cosθ,senθ)senθ]dθ
Aplicamos propiedades de logaritmo natural y finalmente obtenemos:
r=e∫[M(cosθ,senθ)senθ−N(cosθ,senθ)cosθ][M(cosθ,senθ)cosθ+N(cosθ,senθ)senθ]dθ+K
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