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¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden homogéneas? 4

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 48 de ecuaciones homogéneas del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
El problema es el siguiente:
Suponga que $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ es una ecuación homogénea. Pruebe que las sustituciones $x=rcos\theta$ y $y=rsen\theta$ reducen la ecuación a una de variables separables
Como $x=rcos\theta$, y $y=rsen\theta$ hallamos sus derivadas:
\[dx=cos\theta dr-rsen\theta d\theta\]
\[dy=sen\theta dr+rcos\theta d\theta\]
Luego es posible realizar el cambio de variable con sus respectivas derivadas:
\[M(rcos\theta,rsen\theta)(cos\theta dr-rsen\theta d\theta)+N(rcos\theta,rsen\theta)(sen\theta dr+rcos\theta d\theta)=0\]
Debido a la homogeneidad de $M$ y $N$:
\[rM(cos\theta,sen\theta)(cos\theta dr-rsen\theta d\theta)+rN(cos\theta,sen\theta)(sen\theta dr+rcos\theta d\theta)=0\]
Separamos términos:
\[rM(cos\theta,sen\theta)cos\theta dr-r^{2}M(cos\theta,sen\theta)sen\theta d\theta)+rN(cos\theta,sen\theta)sen\theta dr+r^{2}N(cos\theta,sen\theta)cos\theta d\theta=0\]
Dividimos toda la expresión por $r$:
\[M(cos\theta,sen\theta)cos\theta dr-rM(cos\theta,sen\theta)sen\theta d\theta)+N(cos\theta,sen\theta)sen\theta dr+rN(cos\theta,sen\theta)cos\theta d\theta=0\]
Agrupamos téminos respecto a $dr$ y respecto a $d\theta$:
\[[M(cos\theta,sen\theta)cos\theta+N(cos\theta,sen\theta)sen\theta]dr-r[M(cos\theta,sen\theta)sen\theta-N(cos\theta,sen\theta)cos\theta]d\theta=0\]
\[[M(cos\theta,sen\theta)cos\theta+N(cos\theta,sen\theta)sen\theta]dr=r[M(cos\theta,sen\theta)sen\theta-N(cos\theta,sen\theta)cos\theta]d\theta\]
Separamos variables y llegamos al resultado que nos pide el problema:
\[\frac{dr}{r}=\frac{[M(cos\theta,sen\theta)sen\theta-N(cos\theta,sen\theta)cos\theta]}{[M(cos\theta,sen\theta)cos\theta+N(cos\theta,sen\theta)sen\theta]}d\theta\]
Luego podemos extender un poco mas el resultado, esto debido a que conocemos la integral respecto a $r$:
\[ln(r)=\int \frac{[M(cos\theta,sen\theta)sen\theta-N(cos\theta,sen\theta)cos\theta]}{[M(cos\theta,sen\theta)cos\theta+N(cos\theta,sen\theta)sen\theta]}d\theta\]
Aplicamos propiedades de logaritmo natural y finalmente obtenemos:
\[r=e^{\int \frac{[M(cos\theta,sen\theta)sen\theta-N(cos\theta,sen\theta)cos\theta]}{[M(cos\theta,sen\theta)cos\theta+N(cos\theta,sen\theta)sen\theta]}d\theta}+K\]
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