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¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden homogéneas? 4

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 48 de ecuaciones homogéneas del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
El problema es el siguiente:
Suponga que M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es una ecuación homogénea. Pruebe que las sustituciones x=rcosθ y y=rsenθ reducen la ecuación a una de variables separables
Como x=rcosθ, y y=rsenθ hallamos sus derivadas:
dx=cosθdrrsenθdθ

dy=senθdr+rcosθdθ

Luego es posible realizar el cambio de variable con sus respectivas derivadas:
M(rcosθ,rsenθ)(cosθdrrsenθdθ)+N(rcosθ,rsenθ)(senθdr+rcosθdθ)=0

Debido a la homogeneidad de M y N:
rM(cosθ,senθ)(cosθdrrsenθdθ)+rN(cosθ,senθ)(senθdr+rcosθdθ)=0

Separamos términos:
rM(cosθ,senθ)cosθdrr2M(cosθ,senθ)senθdθ)+rN(cosθ,senθ)senθdr+r2N(cosθ,senθ)cosθdθ=0

Dividimos toda la expresión por r:
M(cosθ,senθ)cosθdrrM(cosθ,senθ)senθdθ)+N(cosθ,senθ)senθdr+rN(cosθ,senθ)cosθdθ=0

Agrupamos téminos respecto a dr y respecto a dθ:
[M(cosθ,senθ)cosθ+N(cosθ,senθ)senθ]drr[M(cosθ,senθ)senθN(cosθ,senθ)cosθ]dθ=0

[M(cosθ,senθ)cosθ+N(cosθ,senθ)senθ]dr=r[M(cosθ,senθ)senθN(cosθ,senθ)cosθ]dθ

Separamos variables y llegamos al resultado que nos pide el problema:
drr=[M(cosθ,senθ)senθN(cosθ,senθ)cosθ][M(cosθ,senθ)cosθ+N(cosθ,senθ)senθ]dθ

Luego podemos extender un poco mas el resultado, esto debido a que conocemos la integral respecto a r:
ln(r)=[M(cosθ,senθ)senθN(cosθ,senθ)cosθ][M(cosθ,senθ)cosθ+N(cosθ,senθ)senθ]dθ

Aplicamos propiedades de logaritmo natural y finalmente obtenemos:
r=e[M(cosθ,senθ)senθN(cosθ,senθ)cosθ][M(cosθ,senθ)cosθ+N(cosθ,senθ)senθ]dθ+K

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