¿Cómo resolver una ecuación diferencial de primer orden por el método de separación de variables? 1

En este caso después de no publicar hace un poco de tiempo, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 14 de separación de variables del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
La ecuación diferencial a resolver es la siguiente:
$$e^{x}y\frac{dy}{dx}=e^{-y}+e^{-2x-y}$$
Separando el exponente $e^{-2x-y}=e^{-2x}e^{-y}$, podemos sacar factor común $e^{-y}$
$$e^{x}y\frac{dy}{dx}=e^{-y}(1+e^{-2x})$$
Dividiendo por $e^{-y}$ y $e^{x}$ en ambos lados:
$$e^{y}y\frac{dy}{dx}=\frac{1+e^{-2x}}{e^{x}}$$
Separamos la división:
$$e^{y}y\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^{x}}+\frac{e^{-2x}}{e^{x}}$$
Recordamos que $\frac{1}{e^{x}}=e^{-x}$ y $\frac{e^{-2x}}{e^{x}}=e^{-3x}$ por reglas de exponentes:
$$e^{y}y\frac{dy}{dx}=e^{-x}+e^{-3x}$$
Luego es posible realizar la separación de variables:
$$e^{y}ydy=(e^{-x}+e^{-3x})dx$$
Integramos y obtenemos la respuesta a la ecuación diferencial propuesta:
$$\int e^{y}ydy=\int (e^{-x}+e^{-3x})dx$$
La integral por partes de la primera expresión a la izquierda es:
$$\int  e^{y}ydy=e^{y}(y-1)+C_{1}$$
La integral por sustitución para la expresión a la derecha es:
$$\int (e^{-x}+e^{-3x})dx=-e^{-x}\left(1+\frac{1}{3}e^{-2x}\right)+C_{2}$$
Finalmente la solución a nuestra ecuación diferencial es:
$$e^{y}(y-1)+C_{1}=-e^{-x}\left(1+\frac{1}{3}e^{-2x}\right)+C_{2}$$
$$e^{y}(y-1)=-e^{-x}\left(1+\frac{1}{3}e^{-2x}\right)+C_{2}-C_{1}$$
$$e^{y}(y-1)=-e^{-x}\left(1+\frac{1}{3}e^{-2x}\right)+K$$
Donde $K=C_{2}-C_{1}$