¿Cómo resolver una ecuación diferencial de primer orden por el método de separación de variables? 1

En este caso después de no publicar hace un poco de tiempo, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 14 de separación de variables del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
La ecuación diferencial a resolver es la siguiente:
\[e^{x}y\frac{dy}{dx}=e^{-y}+e^{-2x-y}\]
Separando el exponente $e^{-2x-y}=e^{-2x}e^{-y}$, podemos sacar factor común $e^{-y}$
\[e^{x}y\frac{dy}{dx}=e^{-y}(1+e^{-2x})\]
Dividiendo por $e^{-y}$ y $e^{x}$ en ambos lados:
\[e^{y}y\frac{dy}{dx}=\frac{1+e^{-2x}}{e^{x}}\]
Separamos la división:
\[e^{y}y\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^{x}}+\frac{e^{-2x}}{e^{x}}\]
Recordamos que $\frac{1}{e^{x}}=e^{-x}$ y $\frac{e^{-2x}}{e^{x}}=e^{-3x}$ por reglas de exponentes:
\[e^{y}y\frac{dy}{dx}=e^{-x}+e^{-3x}\]
Luego es posible realizar la separación de variables:
\[e^{y}ydy=(e^{-x}+e^{-3x})dx\]
Integramos y obtenemos la respuesta a la ecuación diferencial propuesta:
\[\int e^{y}ydy=\int (e^{-x}+e^{-3x})dx\]
La integral por partes de la primera expresión a la izquierda es:
\[\int  e^{y}ydy=e^{y}(y-1)+C_{1}\]
La integral por sustitución para la expresión a la derecha es:
\[\int (e^{-x}+e^{-3x})dx=-e^{-x}\left(1+\frac{1}{3}e^{-2x}\right)+C_{2}\]
Finalmente la solución a nuestra ecuación diferencial es:
\[e^{y}(y-1)+C_{1}=-e^{-x}\left(1+\frac{1}{3}e^{-2x}\right)+C_{2}\]
\[e^{y}(y-1)=-e^{-x}\left(1+\frac{1}{3}e^{-2x}\right)+C_{2}-C_{1}\]
\[e^{y}(y-1)=-e^{-x}\left(1+\frac{1}{3}e^{-2x}\right)+K\]
Donde $K=C_{2}-C_{1}$