En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 56 de separación de variables del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
La ecuación diferencial a resolver es la siguiente:
dydx=1+ey−x+5
Sea u=1+ey−x+5, luego:
dudx=dydxey−x+5−ey−x+5
Sacamos factor común:
dudx=ey−x+5(dydx−1)
Luego ey−x+5=u−1 y dydx corresponde a nuestra ecuación diferencial, tenemos ahora la nueva ecuación diferencial debido a la sustitución:
dudx=(u−1)2
Realizamos la separación de variables e integramos:
∫du(u−1)2=∫dx
En el primer término utilizamos integración por sustitución y obtenemos:
∫du(u−1)2=−1u−1+C1
La solución a nuestra ecuación diferencial es, debido a que la segunda integral es fundamental:
−1u−1+C1=x+C2
Y desde un principio realizamos un cambio de variable donde u=1+ey−x+5.
Deshacemos el cambio de variable y finalmente obtenemos:
−1ey−x+5+C1=x+C2
−e−y+x−5+C1=x+C2
−e−y+x−5=x+C2−C1
−e−y+x−5=x+K
Que corresponde a la solución de nuestra ecuación diferencial, y K=C2−C1.
La ecuación diferencial a resolver es la siguiente:
dydx=1+ey−x+5
Sea u=1+ey−x+5, luego:
dudx=dydxey−x+5−ey−x+5
Sacamos factor común:
dudx=ey−x+5(dydx−1)
Luego ey−x+5=u−1 y dydx corresponde a nuestra ecuación diferencial, tenemos ahora la nueva ecuación diferencial debido a la sustitución:
dudx=(u−1)2
Realizamos la separación de variables e integramos:
∫du(u−1)2=∫dx
En el primer término utilizamos integración por sustitución y obtenemos:
∫du(u−1)2=−1u−1+C1
La solución a nuestra ecuación diferencial es, debido a que la segunda integral es fundamental:
−1u−1+C1=x+C2
Y desde un principio realizamos un cambio de variable donde u=1+ey−x+5.
Deshacemos el cambio de variable y finalmente obtenemos:
−1ey−x+5+C1=x+C2
−e−y+x−5+C1=x+C2
−e−y+x−5=x+C2−C1
−e−y+x−5=x+K
Que corresponde a la solución de nuestra ecuación diferencial, y K=C2−C1.
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