¿Cómo resolver una ecuación diferencial de primer orden por el método de separación de variables? 4

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 56 de separación de variables del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
La ecuación diferencial a resolver es la siguiente:
\[\frac{dy}{dx}=1+e^{y-x+5}\]
Sea $u=1+e^{y-x+5}$, luego:
\[\frac{du}{dx}=\frac{dy}{dx}e^{y-x+5}-e^{y-x+5}\]
Sacamos factor común:
\[\frac{du}{dx}=e^{y-x+5}\left(\frac{dy}{dx}-1\right)\]
Luego $e^{y-x+5}=u-1$ y $\frac{dy}{dx}$ corresponde a nuestra ecuación diferencial, tenemos ahora la nueva ecuación diferencial debido a la sustitución:
\[\frac{du}{dx}=(u-1)^{2}\]
Realizamos la separación de variables e integramos:
\[\int \frac{du}{(u-1)^{2}}=\int dx\]
En el primer término utilizamos integración por sustitución y obtenemos:
\[\int \frac{du}{(u-1)^{2}}=-\frac{1}{u-1}+C_{1}\]
La solución a nuestra ecuación diferencial es, debido a que la segunda integral es fundamental:
\[-\frac{1}{u-1}+C_{1}=x+C_{2}\]
Y desde un principio realizamos un cambio de variable donde $u=1+e^{y-x+5}$.
Deshacemos el cambio de variable y finalmente obtenemos:
\[-\frac{1}{e^{y-x+5}}+C_{1}=x+C_{2}\]
\[-e^{-y+x-5}+C_{1}=x+C_{2}\]
\[-e^{-y+x-5}=x+C_{2}-C_{1}\]
\[-e^{-y+x-5}=x+K\]
Que corresponde a la solución de nuestra ecuación diferencial, y $K=C_{2}-C_{1}$.