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¿Cómo resolver una ecuación diferencial de primer orden por el método de separación de variables? 4

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 56 de separación de variables del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
La ecuación diferencial a resolver es la siguiente:
dydx=1+eyx+5
Sea u=1+eyx+5, luego:
dudx=dydxeyx+5eyx+5
Sacamos factor común:
dudx=eyx+5(dydx1)
Luego eyx+5=u1 y dydx corresponde a nuestra ecuación diferencial, tenemos ahora la nueva ecuación diferencial debido a la sustitución:
dudx=(u1)2
Realizamos la separación de variables e integramos:
du(u1)2=dx
En el primer término utilizamos integración por sustitución y obtenemos:
du(u1)2=1u1+C1
La solución a nuestra ecuación diferencial es, debido a que la segunda integral es fundamental:
1u1+C1=x+C2
Y desde un principio realizamos un cambio de variable donde u=1+eyx+5.
Deshacemos el cambio de variable y finalmente obtenemos:
1eyx+5+C1=x+C2
ey+x5+C1=x+C2
ey+x5=x+C2C1
ey+x5=x+K
Que corresponde a la solución de nuestra ecuación diferencial, y K=C2C1.

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