¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden por separación de variables? 2

Nuestra ecuación a resolver es la siguiente:

\[\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=g\]

Integramos respecto al tiempo:

\[\int \frac{d^{2}x}{dt^{2}}dt=\int gdt\]
La respuesta a esta integral es la siguiente:

\[ \frac{dx}{dt}=gt+C\]
Como $\frac{dx}{dt}$ corresponde a la velocidad, entonces podemos escribir la ecuación como sigue:
\[ v(t)=gt+C\]
Proponemos la siguiente condición inicial $v(0)=v_{0}$, y hallamos el valor de la constante:
\[ v_{0}=C\]
reemplazando y volviendo a nuestra ecuación diferencial resultante:
\[ \frac{dx}{dt}=gt+v_{0}\]

Volvemos a integrar:

\[\int \frac{dx}{dt}dt=\int (gt+v_{0})dt\]
Obtenemos que la variable $x$ va a depender del tiempo:
\[x(t)=\frac{gt^{2}}{2}+v_{0}t+C\]
Aplicamos la siguiente condición inicial $x(0)=x_{0}$, y tenemos el valor de la constante de integración:
\[x_{0}=C\]
Finalmente reemplazamos y llegamos a la solución de la ecuación diferencial:
\[x(t)=\frac{gt^{2}}{2}+v_{0}t+x_{0}\]