¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden por separación de variables? 1

Nuestra ecuación a resolver es la siguiente:

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=0$$

Integramos respecto al tiempo:

$$\int \frac{d^{2}x}{dt^{2}}dt=\int 0dt$$
La respuesta a esta integral es la siguiente:

$$\frac{dx}{dt}=C$$
Como $\frac{dx}{dt}$ corresponde a la velocidad, entonces podemos escribir la ecuación como sigue:
$$v(t)=C$$
Proponemos la siguiente condición inicial $v(0)=v_{0}$, y hallamos el valor de la constante:
$$v_{0}=C$$
reemplazando y volviendo a nuestra ecuación diferencial resultante:
$$\frac{dx}{dt}=v_{0}$$

Volvemos a integrar:

$$\int \frac{dx}{dt}dt=\int v_{0}dt$$
Obtenemos que la variable $x$ va a depender del tiempo:
$$x(t)=v_{0}t+C$$
Aplicamos la siguiente condición inicial $x(0)=x_{0}$, y tenemos el valor de la constante de integración:
$$x_{0}=C$$
Finalmente reemplazamos y llegamos a la solución de la ecuación diferencial:
$$x(t)=v_{0}t+x_{0}$$