¿Cómo resolver una ecuación diferencial de primer orden por el método de separación de variables? 2

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 26 de separación de variables del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
La ecuación diferencial a resolver es la siguiente:
\[sen(3x)dx+2ycos^{3}(3x)dy=0\]
Dividimos por $cos^{3}(3x)$ y pasamos a restar los términos que tienen $y$:
\[\frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx=-2ydy\]
Ahora podemos integrar:
\[\int \frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx=-2\int ydy\]
Integramos por sustitución la primera integral y obtenemos la siguiente respuesta:
\[\int \frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx=\frac{1}{6}sec^{2}(3x)+C_{1}\]
La segunda integral si es fundamental, luego la respuesta a nuestra ecuación diferencial es:
\[\frac{1}{6}sec^{2}(3x)+C_{1}=-y^{2}+C_{2}\]
\[\frac{1}{6}sec^{2}(3x)=-y^{2}+C_{2}-C_{1}\]
\[\frac{1}{6}sec^{2}(3x)=-y^{2}+K\]
Donde $K=C_{2}-C_{1}$

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