¿Cómo resolver una ecuación diferencial de primer orden por el método de separación de variables? 2

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 26 de separación de variables del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill.
La ecuación diferencial a resolver es la siguiente:
$$sen(3x)dx+2ycos^{3}(3x)dy=0$$
Dividimos por $cos^{3}(3x)$ y pasamos a restar los términos que tienen $y$:
$$\frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx=-2ydy$$
Ahora podemos integrar:
$$\int \frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx=-2\int ydy$$
Integramos por sustitución la primera integral y obtenemos la siguiente respuesta:
$$\int \frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx=\frac{1}{6}sec^{2}(3x)+C_{1}$$
La segunda integral si es fundamental, luego la respuesta a nuestra ecuación diferencial es:
$$\frac{1}{6}sec^{2}(3x)+C_{1}=-y^{2}+C_{2}$$
$$\frac{1}{6}sec^{2}(3x)=-y^{2}+C_{2}-C_{1}$$
$$\frac{1}{6}sec^{2}(3x)=-y^{2}+K$$
Donde $K=C_{2}-C_{1}$