Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

 A petición de una suscriptora, el problema de hoy es resolver la siguiente ecuación diferencial homogénea de primer orden: \[\left[xycos\left(\frac{y}{x}\right)+x^{2}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]y'=y^{2}cos\left(\frac{y}{x}\right)\] Para simplificar el problema podemos dividir toda la expresión por $y^{2}cos\left(\frac{y}{x}\right)$, además de cambiar $y'=\frac{dy}{dx}$: \[\left[\frac{x}{y}+\frac{x^{2}}{y^{2}}cot\left(\frac{y}{x}\right)\right]\frac{dy}{dx}=1\] \[\left[\frac{x}{y}+\frac{x^{2}}{y^{2}}cot\left(\frac{y}{x}\right)\right]dy=dx\] Ahora realizamos el siguiente cambio de variable $y=ux$, y sus correspondientes derivadas $dy=udx+xdu$, luego se cumpliran las siguientes igualdades respecto del cambio de variable $u=\frac{y}{x}$, $\frac{1}{u}=\frac{x}{y}$ que reemplazaremos en nuestra ecuación diferencial para poder distribuir: \[\left[\frac{1}{u}+\frac{1}{u^{2}}cot\left(u\right)\right](udx+xdu)=dx\] \[dx+\frac{x}{u}du+\frac{cot(u)}{u}dx+\frac{x}{u^{2}}cot(u)du=dx\] A...

 La integral que queremos solucionar es la siguiente: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y-\frac{1}{2}\frac{k}{E}y^{2}}}\] La expresión dentro de la raíz cuadrada se puede escribir cómo: \[-\frac{1}{2}\frac{k}{E}y^{2}+\frac{mg}{E}y+1=-\left(\frac{1}{2}\frac{k}{E}y^{2}-\frac{mg}{E}y-1\right)\] \[=-\left[\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{2E}\sqrt{\frac{2E}{k}}\right)^{2}-\left(1+\left(\frac{mg}{E}\right)^{2}\frac{2E}{4k}\right)\right]\] \[=\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)-\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{\sqrt{2Ek}}\right)^{2}\] Luego la integral queda de la forma: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)-\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{\sqrt{2Ek}}\right)^{2}}}\] Factorizamos $\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)$: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)}\sqrt{1-\frac{\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{\sqrt{2Ek}}\right)^{2}}{\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)}}}\] Ahora s...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 47 de ecuaciones diferenciales de segundo orden homogeneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. El problema es el siguiente: Sean $y_{1}$ y $y_{2}$ dos soluciones de: \[a_{2}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{0}y=0\] (a) Sí $W(y_{1},y_{2})$ es el wronskiano de $y_{1}$ y $y_{2}$, demuestre que \[a_{2}(x)\frac{dW}{dx}+a_{1}(x)W=0\] Como $y_{1}$ y $y_{2}$ son soluciones de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden, luego también deben ser soluciones de las ecuaciones diferenciales: \[a_{2}(x)y_{1}''+a_{1}(x)y_{1}'+a_{0}y_{1}=0\] \[a_{2}(x)y_{2}''+a_{1}(x)y_{2}'+a_{0}y_{2}=0\] El wronskiano es de la forma: \[W(y_{1},y_{2})=\begin{vmatrix}y_{1} & y_{2}\\y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}\] \[W(y_{1},y_{2})=y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'\] La derivada del Wronskiano es: \[\frac{dW}{dx}=(y_{1}y_{2}')'-(y_{2}y_{1}')'\...

Del curso de Cálculo Integral aprendemos que las integrales de tipo arcoseno u arcocoseno son de la forma: \[\int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}=arcsen(u)\] ó \[\int -\frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}=arccos(u)\] Hasta es posible ver dicha integral de un poco más complicada sin importar que sea positiva (arcoseno) u negativa (arcocoseno): \[\int \pm \frac{f'(u)du}{\sqrt{1-[f(u)]^{2}}}\] Sólo en esos casos podemos conocer algunas integrales que podemos resolver, pero existen otras integrales que con un cambio de variable, u organización de términos especifico, puede darnos en términos de arcoseno u arcocoseno, un ejemplo puede ser el siguiente: \[\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}\] Acá simplemente dentro de la raíz cuadrada debemos dejarlo de la forma: 1-término al cuadrado para que nos quede fácil de identificar, y así se pueda hacer fácil la integración: \[\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}\left(1-\frac{u^{2}}{a^{2}}\right)}}\] El término $a^{2}$, sale de la raíz cuadrada como $a$,  \[\frac{1}{a}\int...

En este caso vamos a solucionar la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional que solo tiene el movimiento en el eje y, y además está en presencia de la gravedad, su ecuación diferencial es la siguiente: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=g\] Esta es una ecuación diferencial no homogénea y la vamos a resolver por el método de variación de parámetros. Para este método necesitamos resolver la ecuación diferencial homogenea: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=0\] Que ya la hemos resuelto en este enlace  aunque resuelta con la coordenada $x$, pero eso no va a importar, porque va a ser la misma solución, solo que cambiamos de $x$ a $y$: \[y(t)=c_{1}cos(\omega t)+c_{2}sen(\omega t)\] Para resolver la ecuación diferencial debemos hallar el wronskiano: \[W(f(t),g(t))=\begin{vmatrix}f(t) & g(t)\\f'(t) & g'(t)\end{vmatrix}\] Identificamos las funciones $f(t)=c_{1}cos(\omega t)$ y $g(t)=c_{2}sen(\omega t)$, hallamos las derivadas $f'(t)=-c_{1}\omega sen(\omega t)$ y $g'(t)=c_{...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 17 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. La ecuación diferencial a resolver es: \[\frac{dy}{dx}=e^{2x}+(1+2e^{x})y+y^{2}\] Con la solución conocida $y_1=-e^{x}$ Identificamos $P(x)=e^{2x}$, $Q(x)=1+2e^{x}$ y $R(x)=1$ Luego la ecuación diferencial con solución conocida $y_1$ es: \[\frac{dy_1}{dx}=e^{2x}+(1+2e^{x})y_1+y_1^{2}\] Y la ecuación diferencial a resolver es: \[\frac{du}{dx}-(1+2e^{x}+(-2e^{x})(1))u=(1)u^{2}\] Queda: \[\frac{du}{dx}-u=u^{2}\] Esta ecuación diferencial se puede convertir en una ecuación diferencial lineal de primer orden en virtud del cambio de variable $w=\frac{1}{u}$: \[\frac{dw}{dx}+w=-1\] Calculamos el factor integrante: \[\mu(x)=e^{\int dx}=e^{x}\] Multiplicamos por nuestro factor integrante la ecuación diferencial: \[e^{x}\frac{dw}{dx}+e^{x}w=-e^{x}\] Los térmi...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 18 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. Nuestra ecuación diferencial a resolver es: \[\frac{dy}{dx}=sec^{2}(x)-tan(x)y+y^{2}\] y su solución conocida es $y_1=tan(x)$ Identificamos las funciones $P(x)=sec^{2}(x)$, $Q(x)=-tan(x)$ y $R(x)=1$ Luego la ecuación diferencial con solución conocida $y_1$ es: \[\frac{dy_1}{dx}=sec^{2}(x)-tan(x)y_1+y_1^{2}\] Y la ecuación diferencial a resolver es: \[\frac{du}{dx}-(-tan(x)+2tan(x)(1))u=u^{2}(1)\] Queda: \[\frac{du}{dx}-tan(x)u=u^{2}\] Esta ecuación diferencial se puede convertir a una ecuación diferencial de primer orden lineal en virtud del cambio de variable $w=\frac{1}{u}$: \[\frac{dw}{dx}+tan(x)w=-1\] Calculamos el factor integrante: \[\mu(x)=e^{\int tan(x)dx}\] De acuerdo a la integral de tangente de x , el factor integrante toma la siguiente for...