¿Cómo integrar por sustitución? Ejemplo 3

Nuestra integral que vamos a resolver es la siguiente:

$\int \frac{du}{(u-1)^{2}}$
Para la primera integral podemos realizar el siguiente cambio de variable

$p=u-1$ ,

$dp=du$ , e integramos:

$\int \frac{dp}{p^{2}}=-\frac{1}{p}+C$
Deshacemos el cambio de variable y tenemos:

$-\frac{1}{p}+C=-\frac{1}{u-1}+C$
Que corresponde a la respuesta final de nuestra integral:

$\int \frac{du}{(u-1)^{2}}=-\frac{1}{u-1}+C_{1}$

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$\int sen(2x)dx$ Podemos realizar la siguiente sustitución

$u=2x$ ,

$du=2dx$ , entonces

$\frac{du}{2}=dx$ , así la integral nos queda de la forma:

$\frac{1}{2}\int sen(u)du$ Que corresponde a una integral fundamental:

$\frac{1}{2}\int sen(u)du=-\frac{1}{2}cos(u)+C$ Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la respuesta a nuestra integral:

$-\frac{1}{2}cos(2x)+C$

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$\ddot{y}+\omega^{2}y=0$ Que ya la hemos resuelto en este enlace aunque resuelta con la coordenada

$x$ , pero eso no va a importar, porque va a ser la misma solución, solo que cambiamos de

$x$ a

$y$ :

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$W(f(t),g(t))=\begin{vmatrix}f(t) & g(t)\\f'(t) & g'(t)\end{vmatrix}$ Identificamos las funciones

$f(t)=c_{1}cos(\omega t)$ y

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