Ir al contenido principal

¿Cómo integrar por sustitución? Ejemplo 1

Nuestra integral que vamos a resolver es la siguiente:
\[\int (e^{-x}+e^{-3x})dx\]
Por linealidad de las integrales:
\[\int e^{-x}dx+\int e^{-3x}dx\]
Para la primera integral
\[\int e^{-x}dx\]
Realizamos una sustitución de la siguiente forma $u=-x$, $du=-dx$, $-du=dx$, así la integral toma la forma:
\[-\int e^{u}du\]
Como es una integral fundamental, tenemos el siguiente resultado de la integral:
\[-e^{u}+c_1\]
Deshacemos el cambio de variable para obtener la respuesta a la primera integral:
\[\int e^{-x}dx=-e^{-x}+c_1\]
Para la segunda integral
\[\int e^{-3x}dx\]
Realizamos una sustitución de la siguiente forma $v=-3x$, $dv=-3dx$, $-\frac{dv}{3}=dx$, así la integral toma la forma:
\[-\frac{1}{3}\int e^{v}dv\]
Que también corresponde a una integral fundamenta, integrando:
\[-\frac{1}{3}e^{v}+c_{2}\]
Deshacemos el cambio de variable para obtener la respuesta a la segunda integral:
\[\int e^{-3x}dx=-\frac{1}{3}e^{-3x}+c_{2}\]
Luego la respuesta a toda la integral es:
\[\int (e^{-x}+e^{-3x})dx=-e^{-x}-\frac{1}{3}e^{-3x}+c_1+c_2\]
Realizamos una factorización en la respuesta para que se vea mas elegante:
\[\int (e^{-x}+e^{-3x})dx=-e^{-x}\left(1+\frac{1}{3}e^{-2x}\right)+c\]
Donde $c=c_1+c_2$

Comentarios

Entradas populares de este blog

¿Cuál es la integral de sen(2x)?

Nuestra integral a resolver está vez es la siguiente: \[\int sen(2x)dx\] Podemos realizar la siguiente sustitución $u=2x$, $du=2dx$, entonces $\frac{du}{2}=dx$, así la integral nos queda de la forma: \[\frac{1}{2}\int sen(u)du\] Que corresponde a una integral fundamental: \[\frac{1}{2}\int sen(u)du=-\frac{1}{2}cos(u)+C\] Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la respuesta a nuestra integral: \[-\frac{1}{2}cos(2x)+C\]

¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales con factor integrante? 4

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 2.i de ecuaciones con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Resolver cada una de estas ecuaciones hallando un factor integrante: \[(yln(y)-2xy)dx+(x+y)dy=0\] Este libro nos propone hallar de dos formas los factores integrantes: \[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=g(x)\] \[\mu(x)=e^{\int g(x)dx}\] y \[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{-M}=h(y)\] \[\mu(y)=e^{\int h(y)dy}\] Como ambos factores integrantes tienen el mismo numerador, calculamos las derivadas parciales: \[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(yln(y)-2xy)\] \[\frac{\partial M}{\partial y}=ln(y)+1-2x\] \[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(x+y)\] \[\frac{\partial N}{\partial x}=1\] Calculamos las funcio...

¿Cómo son las integrales del tipo arcoseno o arcocoseno?

Del curso de Cálculo Integral aprendemos que las integrales de tipo arcoseno u arcocoseno son de la forma: \[\int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}=arcsen(u)\] ó \[\int -\frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}=arccos(u)\] Hasta es posible ver dicha integral de un poco más complicada sin importar que sea positiva (arcoseno) u negativa (arcocoseno): \[\int \pm \frac{f'(u)du}{\sqrt{1-[f(u)]^{2}}}\] Sólo en esos casos podemos conocer algunas integrales que podemos resolver, pero existen otras integrales que con un cambio de variable, u organización de términos especifico, puede darnos en términos de arcoseno u arcocoseno, un ejemplo puede ser el siguiente: \[\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}\] Acá simplemente dentro de la raíz cuadrada debemos dejarlo de la forma: 1-término al cuadrado para que nos quede fácil de identificar, y así se pueda hacer fácil la integración: \[\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}\left(1-\frac{u^{2}}{a^{2}}\right)}}\] El término $a^{2}$, sale de la raíz cuadrada como $a$,  \[\frac{1}{a}\int...