¿Cómo integrar por sustitución? Ejemplo 1

Nuestra integral que vamos a resolver es la siguiente:
$$\int (e^{-x}+e^{-3x})dx$$
Por linealidad de las integrales:
$$\int e^{-x}dx+\int e^{-3x}dx$$
Para la primera integral
$$\int e^{-x}dx$$
Realizamos una sustitución de la siguiente forma $u=-x$, $du=-dx$, $-du=dx$, así la integral toma la forma:
$$-\int e^{u}du$$
Como es una integral fundamental, tenemos el siguiente resultado de la integral:
$$-e^{u}+c_1$$
Deshacemos el cambio de variable para obtener la respuesta a la primera integral:
$$\int e^{-x}dx=-e^{-x}+c_1$$
Para la segunda integral
$$\int e^{-3x}dx$$
Realizamos una sustitución de la siguiente forma $v=-3x$, $dv=-3dx$, $-\frac{dv}{3}=dx$, así la integral toma la forma:
$$-\frac{1}{3}\int e^{v}dv$$
Que también corresponde a una integral fundamenta, integrando:
$$-\frac{1}{3}e^{v}+c_{2}$$
Deshacemos el cambio de variable para obtener la respuesta a la segunda integral:
$$\int e^{-3x}dx=-\frac{1}{3}e^{-3x}+c_{2}$$
Luego la respuesta a toda la integral es:
$$\int (e^{-x}+e^{-3x})dx=-e^{-x}-\frac{1}{3}e^{-3x}+c_1+c_2$$
Realizamos una factorización en la respuesta para que se vea mas elegante:
$$\int (e^{-x}+e^{-3x})dx=-e^{-x}\left(1+\frac{1}{3}e^{-2x}\right)+c$$
Donde $c=c_1+c_2$