¿Cómo integrar por sustitución? Ejemplo 1

Nuestra integral que vamos a resolver es la siguiente:
\[\int (e^{-x}+e^{-3x})dx\]
Por linealidad de las integrales:
\[\int e^{-x}dx+\int e^{-3x}dx\]
Para la primera integral
\[\int e^{-x}dx\]
Realizamos una sustitución de la siguiente forma $u=-x$, $du=-dx$, $-du=dx$, así la integral toma la forma:
\[-\int e^{u}du\]
Como es una integral fundamental, tenemos el siguiente resultado de la integral:
\[-e^{u}+c_1\]
Deshacemos el cambio de variable para obtener la respuesta a la primera integral:
\[\int e^{-x}dx=-e^{-x}+c_1\]
Para la segunda integral
\[\int e^{-3x}dx\]
Realizamos una sustitución de la siguiente forma $v=-3x$, $dv=-3dx$, $-\frac{dv}{3}=dx$, así la integral toma la forma:
\[-\frac{1}{3}\int e^{v}dv\]
Que también corresponde a una integral fundamenta, integrando:
\[-\frac{1}{3}e^{v}+c_{2}\]
Deshacemos el cambio de variable para obtener la respuesta a la segunda integral:
\[\int e^{-3x}dx=-\frac{1}{3}e^{-3x}+c_{2}\]
Luego la respuesta a toda la integral es:
\[\int (e^{-x}+e^{-3x})dx=-e^{-x}-\frac{1}{3}e^{-3x}+c_1+c_2\]
Realizamos una factorización en la respuesta para que se vea mas elegante:
\[\int (e^{-x}+e^{-3x})dx=-e^{-x}\left(1+\frac{1}{3}e^{-2x}\right)+c\]
Donde $c=c_1+c_2$