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¿Cómo integrar por sustitución? Ejemplo 2

Nuestra integral que vamos a resolver es la siguiente:
\[\int \frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx\]
En este caso tenemos que realizar dos sustituciones para poder llegar al resultado, la primera sustitución es $u=3x$, $du=3dx$; entonces $\frac{du}{3}=dx$, y nuestra integral queda de la forma:
\[\frac{1}{3}\int\frac{sen(u)}{cos^{3}(u)}du\]
La siguiente sustitución a realizar es $v=cos(u)$, $dv=-sen(u)du$; entonces $-dv=sen(u)du$, y finalmente nuestra integral tiene la forma:
\[-\frac{1}{3}\int \frac{dv}{v^{3}}\]
Se puede expresar más sencillo para obtener su método de solución:
\[-\frac{1}{3}\int v^{-3}=-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}v^{-2}\right)+C=\frac{1}{6}v^{-2}+C\]
Deshacemos las sustituciones:
\[\frac{1}{6}v^{-2}+C=\frac{1}{6v^{2}}+C=\frac{1}{6cos^{2}(3x)}+C=\frac{1}{6}sec^{2}(3x)+C\]
Tenemos la respuesta a nuestra integral:
\[\int \frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx=\frac{1}{6}sec^{2}(3x)+C\]
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