¿Cómo integrar una función con raíz cuadrada por sustitución?

La integral que queremos resolver es la siguiente:
$$\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}}$$
Realizamos un cambio de variable de la forma $u=1+\frac{mg}{E}y$, $du=\frac{mg}{E}dy$, luego $\frac{E}{mg}du=dy$, así nuestra integral toma la forma:
$$\sqrt{\frac{m}{2E}}\frac{E}{mg} \int\frac{du}{\sqrt{u}}$$
Que se reduce a una sencilla integral:
$$\sqrt{\frac{E}{2m}}\frac{1}{g} \int\frac{du}{(u)^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{\frac{E}{2m}}\frac{1}{g} \int (u)^{\frac{-1}{2}}du$$
Que corresponde a la siguiente respuesta:
$$\sqrt{\frac{2E}{mg^{2}}}(u)^{\frac{1}{2}}+C$$
Deshacemos el cambio de variable para llegar finalmente al resultado de nuestra integral:
$$\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}}=\sqrt{\frac{2E}{mg^{2}}}\left(1+\frac{mg}{E}y\right)^{\frac{1}{2}}+C$$
$$\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}}=\sqrt{\frac{2E}{mg^{2}}}\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}+C$$