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¿Cómo integrar una función con raíz cuadrada por sustitución?

La integral que queremos resolver es la siguiente:
\[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}}\]
Realizamos un cambio de variable de la forma $u=1+\frac{mg}{E}y$, $du=\frac{mg}{E}dy$, luego $\frac{E}{mg}du=dy$, así nuestra integral toma la forma:
\[\sqrt{\frac{m}{2E}}\frac{E}{mg} \int\frac{du}{\sqrt{u}}\]
Que se reduce a una sencilla integral:
\[\sqrt{\frac{E}{2m}}\frac{1}{g} \int\frac{du}{(u)^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{\frac{E}{2m}}\frac{1}{g} \int (u)^{\frac{-1}{2}}du\]
Que corresponde a la siguiente respuesta:
\[\sqrt{\frac{2E}{mg^{2}}}(u)^{\frac{1}{2}}+C\]
Deshacemos el cambio de variable para llegar finalmente al resultado de nuestra integral:
\[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}}=\sqrt{\frac{2E}{mg^{2}}}\left(1+\frac{mg}{E}y\right)^{\frac{1}{2}}+C\]
\[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}}=\sqrt{\frac{2E}{mg^{2}}}\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}+C\]


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