Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

La integral que queremos resolver es la siguiente: $$\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}}$$ Realizamos un cambio de variable de la forma $u=1+\frac{mg}{E}y$, $du=\frac{mg}{E}dy$, luego $\frac{E}{mg}du=dy$, así nuestra integral toma la forma: $$\sqrt{\frac{m}{2E}}\frac{E}{mg} \int\frac{du}{\sqrt{u}}$$ Que se reduce a una sencilla integral: $$\sqrt{\frac{E}{2m}}\frac{1}{g} \int\frac{du}{(u)^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{\frac{E}{2m}}\frac{1}{g} \int (u)^{\frac{-1}{2}}du$$ Que corresponde a la siguiente respuesta: $$\sqrt{\frac{2E}{mg^{2}}}(u)^{\frac{1}{2}}+C$$ Deshacemos el cambio de variable para llegar finalmente al resultado de nuestra integral: $$\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}}=\sqrt{\frac{2E}{mg^{2}}}\left(1+\frac{mg}{E}y\right)^{\frac{1}{2}}+C$$ $$\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}}=\sqrt{\frac{2E}{mg^{2}}}\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}+C$$

Nuestra ecuación a resolver es la siguiente: $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=g$$ Integramos respecto al tiempo: $$\int \frac{d^{2}x}{dt^{2}}dt=\int gdt$$ La respuesta a esta integral es la siguiente: $$\frac{dx}{dt}=gt+C$$ Como $\frac{dx}{dt}$ corresponde a la velocidad, entonces podemos escribir la ecuación como sigue: $$v(t)=gt+C$$ Proponemos la siguiente condición inicial $v(0)=v_{0}$, y hallamos el valor de la constante: $$v_{0}=C$$ reemplazando y volviendo a nuestra ecuación diferencial resultante: $$\frac{dx}{dt}=gt+v_{0}$$ Volvemos a integrar: $$\int \frac{dx}{dt}dt=\int (gt+v_{0})dt$$ Obtenemos que la variable $x$ va a depender del tiempo: $$x(t)=\frac{gt^{2}}{2}+v_{0}t+C$$ Aplicamos la siguiente condición inicial $x(0)=x_{0}$, y tenemos el valor de la constante de integración: $$x_{0}=C$$ Finalmente reemplazamos y llegamos a la solución de la ecuación diferencial: $$x(t)=\frac{gt^{2}}{2}+v_{0}t+x_{0}$$

Nuestra ecuación a resolver es la siguiente: $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=0$$ Integramos respecto al tiempo: $$\int \frac{d^{2}x}{dt^{2}}dt=\int 0dt$$ La respuesta a esta integral es la siguiente: $$\frac{dx}{dt}=C$$ Como $\frac{dx}{dt}$ corresponde a la velocidad, entonces podemos escribir la ecuación como sigue: $$v(t)=C$$ Proponemos la siguiente condición inicial $v(0)=v_{0}$, y hallamos el valor de la constante: $$v_{0}=C$$ reemplazando y volviendo a nuestra ecuación diferencial resultante: $$\frac{dx}{dt}=v_{0}$$ Volvemos a integrar: $$\int \frac{dx}{dt}dt=\int v_{0}dt$$ Obtenemos que la variable $x$ va a depender del tiempo: $$x(t)=v_{0}t+C$$ Aplicamos la siguiente condición inicial $x(0)=x_{0}$, y tenemos el valor de la constante de integración: $$x_{0}=C$$ Finalmente reemplazamos y llegamos a la solución de la ecuación diferencial: $$x(t)=v_{0}t+x_{0}$$

La integral que queremos resolver es la siguiente: $$\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}$$ Realizamos un cambio de variable de la siguiente forma: $$\frac{k}{2E}x^{2}=y^{2}$$ Para poder hallar la derivada sacamos raíz cuadrada a ambos términos: $$\sqrt{\frac{k}{2E}}x=y$$ Sacamos las derivadas y obtenemos: $$\sqrt{\frac{k}{2E}}dx=dy$$ Luego pasando el factor que multiplica el $dx$ al lado del dy: $$dx=\sqrt{\frac{2E}{k}}dy$$ Por tanto la integral queda de la forma: $$\sqrt{\frac{m}{2E}}\sqrt{\frac{2E}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}$$ $$\sqrt{\frac{m}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}$$ Que corresponde a una integral de arcoseno, por lo tanto la respuesta nos queda como: $$\sqrt{\frac{m}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen(y)+C$$ Deshaciendo el cambio de variable, obtenemos finalmente el resultado de nuestra integral: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcse...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 2.d de ecuaciones con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Resolver cada una de estas ecuaciones hallando un factor integrante: $$e^{x}dx+(e^{x}cot(y)+2y csc(y))dy=0$$ Este libro nos propone hallar de dos formas los factores integrantes: $$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=g(x)$$ $$\mu(x)=e^{\int g(x)dx}$$ y $$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{-M}=h(y)$$ $$\mu(y)=e^{\int h(y)dy}$$ Como ambos factores integrantes tienen el mismo numerador, calculamos las derivadas parciales: $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(e^{x})$$ $$\frac{\partial M}{\partial y}=0$$ $$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(e^{x}cot(y)+2ycsc(y))$$ \[\frac{\partial N}{\partial x}=e^{x}cot(y)\...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 41 de ecuaciones lineales con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. El problema es el siguiente: $$L\frac{di}{dt}+Ri=E$$ Con $L$, $R$ y $E$ son constantes, y de acuerdo a la condición inicial $i(0)=i_{0}$ Identificamos con la ecuación diferencial lineal: $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$$ Donde el factor integrante se obtiene a partir de: $$\mu(x)=e^{\int P(x)dx}$$ Para que nuestra ecuación diferencial quede de la forma: $$e^{\int P(x)dx}\frac{dy}{dx}+e^{\int P(x)dx}P(x)y=e^{\int P(x)dx}f(x)$$ La cuál ya es una ecuación diferencial exacta debido al factor integrante. Así nuestra ecuación diferencial queda de la forma: $$\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}$$ Hallamos dicho factor integrante: $$\mu(t)=e^{\int \frac{R}{L}dt}=e^{\frac{R}{L}t}$$ Así nuestra ecuación diferencial queda de la forma: \[e^{\frac{R}{L}t}\frac{di}{dt}+...

Nuestra integral a resolver es la siguiente: $$\frac{E}{L}\int e^{\frac{R}{L}t}dt$$ Con $E$, $R$ y $L$ constantes, Realizamos una sustitución de la forma $u=\frac{R}{L}t$, $du=\frac{R}{L}dt$, entonces $\frac{L}{R}du=dt$ Así la integral a resolver es la siguiente: $$\frac{L}{R}\int e^{u}du=\frac{L}{R}e^{u}$$ Deshacemos el cambio de variable y tenemos la respuesta a nuestra integral: $$\frac{E}{L}\int e^{\frac{R}{L}t}dt=\frac{E}{R}e^{\frac{R}{L}t}$$

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 18 de ecuaciones lineales con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. El problema es el siguiente: $$\frac{dy}{dx}+ycot(x)=2cos(x)$$ Identificamos con la ecuación diferencial lineal: $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$$ Donde el factor integrante se obtiene a partir de: $$\mu(x)=e^{\int P(x)dx}$$ Para que nuestra ecuación diferencial quede de la forma: $$e^{\int P(x)dx}\frac{dy}{dx}+e^{\int P(x)dx}P(x)y=e^{\int P(x)dx}f(x)$$ La cuál ya es una ecuación diferencial exacta debido al factor integrante. Hallamos dicho factor integrante: $$\mu(x)=e^{\int cot(x)dx}$$ La integral de la función cotangente es la siguiente: $$\int cot(x)dx=ln(sen(x))+C$$ El factor integrante nos queda de la forma: $$\mu(x)=e^{ln(sen(x))}=sen(x)$$ Así nuestra ecuación diferencial a resolver toma la forma: $$sen(x)\frac{dy}{dx}+ysen(x)cot(x)=2sen(x)cos(x)$$ ...

Nuestra integral a resolver está vez es la siguiente: $$\int sen(2x)dx$$ Podemos realizar la siguiente sustitución $u=2x$, $du=2dx$, entonces $\frac{du}{2}=dx$, así la integral nos queda de la forma: $$\frac{1}{2}\int sen(u)du$$ Que corresponde a una integral fundamental: $$\frac{1}{2}\int sen(u)du=-\frac{1}{2}cos(u)+C$$ Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la respuesta a nuestra integral: $$-\frac{1}{2}cos(2x)+C$$

La integral que vamos a resolver en el día de hoy es la siguiente: $$\int cot(x)dx$$ Esta integral la podemos expresar en términos de las funciones seno y coseno, debido a la razón trigonométrica $cot(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}$: $$\int \frac{cos(x)}{sen(x)}dx$$ Ahora podemos realizar el siguiente cambio de variable $u=sen(x)$, $du=cos(x)dx$, y la nueva integral en términos de $u$ nos queda como: $$\int \frac{du}{u}$$ Que corresponde a la integral que da como resultado la función $ln(u)$ (Para nuestro caso antes de realizar el cambio de variable) $$\int \frac{du}{u}=ln(u)+C$$ Deshacemos el cambio de variable y tenemos la respuesta final a nuestra integral: $$\int cot(x)dx=\int \frac{cos(x)}{sen(x)}dx=ln(sen(x))+C$$

En este caso vamos a solucionar la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional que solo tiene el movimiento en el eje x, y su ecuación diferencial es la siguiente: $$\ddot{x}+\omega^{2}x=0$$ Podemos ver que la ecuación corresponde a una ecuación diferencial homogénea, así que proponemos una solución de la forma $x=e^{mt}$ y hallamos sus derivadas $\dot{x}=me^{mt}$, $\ddot{x}=m^{2}e^{mt}$, reemplazamos en nuestra ecuación diferencial: $$m^{2}e^{mt}+\omega^{2}e^{mt}=0$$ Sacando factor común $e^{mt}$: $$e^{mt}(m^{2}+\omega^{2})=0$$ Donde $e^{mt}$ no puede ser cero, entonces lo será el termino entre parentesis y hallamos sus respectivas raíces: $$m^{2}+\omega^{2}=0$$ Donde las soluciones son imaginarias y corresponden a: $$m_1=i\omega \quad m-2=-i\omega$$ La solución queda expresada como: $$x(t)=e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}$$ Aplicamos la identidad de Euler para simplificar mas elegante esta solución: $$e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta$$ Nos queda ahora ...

Nos piden simplificar la siguiente solución de una ecuación diferencial (aunque es válido para simplificar muchas expresiones, sólo que acá muestro el respectivo procedimiento): $$y=C_1e^{i3x}+C_2e^{-i3x}$$ Aplicamos la identidad de Euler: $$e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta$$ La solución queda de la forma: $$y=C_1(cos(3x)+isen(3x))+C_2(cos(-3x)+isen(-3x))$$ Donde $cos(-3x)=cos(3x)$ y $sen(-3x)=-sen(3x)$: $$y=C_1(cos(3x)+isen(3x))+C_2(cos(3x)-isen(3x))$$ Distribuimos y factorizamos $cos(3x)$ y $sen(3x)$: $$y=C_1(cos(3x)+isen(3x))+C_2(cos(3x)-isen(3x))$$ $$y=C_1cos(3x)+iC_1sen(3x)+C_2cos(3x)-iC_2sen(3x)$$ $$y=(C_1+C_2)cos(3x)+(iC_1-iC_2)sen(3x)$$ Renombramos las constantes: $(C_1+C_2)=c_1$ y $(iC_1-iC_2)=c_2$, y por lo tanto la solución queda reducida a la forma: $$y=c_1cos(3x)+c_2sen(3x)$$

Nuestra integral que queremos resolver es la siguiente: $$\int \frac{w^{2}dw}{1+w^{2}}$$ Podemos reexpresar la función como: $$\int \frac{w^{2}+1-1}{1+w^{2}}$$ Separamos fracciones y por linealidad tenemos las siguientes integrales: $$\int \frac{w^{2}+1}{1+w^{2}}dw-\int \frac{1}{1+w^{2}}dw$$ La primera integral nos queda muy sencilla, y la segunda corresponde a la integral de arcotangente: $$\int dw-\int \frac{1}{1+w^{2}}dw$$ Luego la respuesta a la integral es la siguiente: $$\int \frac{w^{2}dw}{1+w^{2}}=w-arctan(w)+C$$

Nuestra integral que vamos a resolver es la siguiente: $$\int \frac{du}{(u-1)^{2}}$$ Para la primera integral podemos realizar el siguiente cambio de variable $p=u-1$, $dp=du$, e integramos: $$\int \frac{dp}{p^{2}}=-\frac{1}{p}+C$$ Deshacemos el cambio de variable y tenemos: $$-\frac{1}{p}+C=-\frac{1}{u-1}+C$$ Que corresponde a la respuesta final de nuestra integral: $$\int \frac{du}{(u-1)^{2}}=-\frac{1}{u-1}+C_{1}$$

Nuestra integral que vamos a resolver es la siguiente: $$\int \frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx$$ En este caso tenemos que realizar dos sustituciones para poder llegar al resultado, la primera sustitución es $u=3x$, $du=3dx$; entonces $\frac{du}{3}=dx$, y nuestra integral queda de la forma: $$\frac{1}{3}\int\frac{sen(u)}{cos^{3}(u)}du$$ La siguiente sustitución a realizar es $v=cos(u)$, $dv=-sen(u)du$; entonces $-dv=sen(u)du$, y finalmente nuestra integral tiene la forma: $$-\frac{1}{3}\int \frac{dv}{v^{3}}$$ Se puede expresar más sencillo para obtener su método de solución: $$-\frac{1}{3}\int v^{-3}=-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}v^{-2}\right)+C=\frac{1}{6}v^{-2}+C$$ Deshacemos las sustituciones: $$\frac{1}{6}v^{-2}+C=\frac{1}{6v^{2}}+C=\frac{1}{6cos^{2}(3x)}+C=\frac{1}{6}sec^{2}(3x)+C$$ Tenemos la respuesta a nuestra integral: $$\int \frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx=\frac{1}{6}sec^{2}(3x)+C$$

Nuestra integral que vamos a resolver es la siguiente: $$\int (e^{-x}+e^{-3x})dx$$ Por linealidad de las integrales: $$\int e^{-x}dx+\int e^{-3x}dx$$ Para la primera integral $$\int e^{-x}dx$$ Realizamos una sustitución de la siguiente forma $u=-x$, $du=-dx$, $-du=dx$, así la integral toma la forma: $$-\int e^{u}du$$ Como es una integral fundamental, tenemos el siguiente resultado de la integral: $$-e^{u}+c_1$$ Deshacemos el cambio de variable para obtener la respuesta a la primera integral: $$\int e^{-x}dx=-e^{-x}+c_1$$ Para la segunda integral $$\int e^{-3x}dx$$ Realizamos una sustitución de la siguiente forma $v=-3x$, $dv=-3dx$, $-\frac{dv}{3}=dx$, así la integral toma la forma: $$-\frac{1}{3}\int e^{v}dv$$ Que también corresponde a una integral fundamenta, integrando: $$-\frac{1}{3}e^{v}+c_{2}$$ Deshacemos el cambio de variable para obtener la respuesta a la segunda integral: $$\int e^{-3x}dx=-\frac{1}{3}e^{-3x}+c_{2}$$ Luego la respuesta a toda la integral es: ...

Nuestra integral que queremos resolver por partes es la siguiente: $$\int e^{y}ydy$$ Esta integral se resuelve aplicando  Uniforme de Vaca es para Una Vaca Vestida de Uniforme, que en forma matemática es la siguiente expresión: $$\int UdV=UV-\int VdU$$ Para resolver fácil la integral escogemos $U=y$, su respectiva derivada $dU=dy$, $dV=e^{y}dy$ y su respectiva integral es $e^{y}$ La integral se transforma en: $$\int e^{y}ydy=ye^{y}-\int e^{y}dy$$ $$\int  e^{y}ydy=ye^{y}-e^{y}+C_{1}$$ Sacando factor común: $$\int  e^{y}ydy=e^{y}(y-1)+C_{1}$$ Obtenemos respuesta a nuestra integral.

La ecuación cúbica que vamos a reducir de orden y también hallar una de las soluciones es la siguiente: $$m^{3}+m^{2}-2m-2=0$$ Encontramos todos los posibles divisores del término que no tiene $m$ el cuál será nuestro término independiente, y todos los posibles divisores del término que acompaña al término cúbico, para nuestro caso es $1$, por lo tanto tenemos: $$p=D_{2}=(\pm 1, \pm 2)$$ $$q=D_{1}=(\pm 1)$$ Donde las posibles raíces racionales son de la forma: $$\frac{p}{q}=\frac{(\pm 1, \pm 2)}{(\pm 1)}=(\pm 1, \pm 2)$$ Aplicamos la división sintética e identificamos cada término de la ecuación cúbica con su respectivo número, bajamos el $1$: $$\left.\begin{matrix} m^{3} &m^{2}  &m  & T.I.\\  1& 1 & -2 & -2\\  &  &  & \\ --&--  &--  &-- \\  1 &  &  & \end{matrix}\right|m=1$$ Multiplicamos el $m=1$ por el $1$ que bajamos, y el resultado lo pasamos a sum...

Las propiedades de exponentes en muchas ocasiones las necesitamos aplicar para poder simplificar alguna expresión y/o ecuación matemática, tenemos las siguientes: 1) En multiplicación de dos monomios cualquiera, se suma los exponentes: $$x^{p}x^{q}$$ $$x^{p+q}$$ E igualmente si tenemos dos monomios cualquiera, sumamos los exponentes en cada una de las bases como se muestra a continuación: $$(x^{a}y^{b}z^{c})(x^{d}y^{e}z^{f})$$ $$x^{a+d}y^{b+e}z^{c+f}$$ He aquí algunos ejemplos: a. $$(x^{4}y^{5}z^{3})(x^{5}y^{2}z^{1})$$ $$x^{4+5}y^{5+2}z^{3+1}$$ $$x^{9}y^{7}z^{4}$$ b. $$(x^{4}y^{5}z^{3})(x^{-5}y^{-2}z^{1})$$ $$x^{4+(-5)}y^{5+(-2)}z^{3+1}$$ $$x^{-1}y^{3}z^{4}$$ c. $$x^{3}x^{m-3}$$ $$x^{3+(m-3)}$$ $$x^{3+m-3}$$ $$x^{3-3+m}$$ $$x^{m}$$ Debo aclarar que cualquier expresión de la forma $na^{-b}$ representa una fracción de la forma $\frac{n}{a^{b}}$, análogamente pasará con una expresión de la forma $\frac{n}{a^{-b}}$ que representa una expresión de la forma $na^{b}$, con $a$...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 22 de ecuaciones homogéneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Hallar el valor de $n$ para el cuál cada una de las ecuaciones siguientes es exacta y resolver para ese valor de $n$: b) $(x+ye^{2xy})dx+(nxe^{2xy})dy=0$ Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente: $$\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}$$ O como normalmente se muestra: $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$ Corresponde a la ecuación diferencial: $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$ El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso). Calculamos la derivada parcia...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 22 de ecuaciones homogéneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Hallar el valor de $n$ para el cuál cada una de las ecuaciones siguientes es exacta y resolver para ese valor de $n$: a) $(xy^{2}+nx^{2}y)dx+(x^{3}+x^{2}y)dy=0$ Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente: $$\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}$$ O como normalmente se muestra: $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$ Corresponde a la ecuación diferencial: $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$ El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso). Calculamos la derivada...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 11 de ecuaciones homogéneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Determinar si la ecuación es exacta y resolverla $$dx=\frac{y}{1-x^{2}y^{2}}dx+\frac{x}{1-x^{2}y^{2}}dy$$ Primero debemos igualar a cero para poder calcular las respectivas derivadas y tendremos: $$\left(\frac{y}{1-x^{2}y^{2}}-1\right)dx+\frac{x}{1-x^{2}y^{2}}dy=0$$ Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente: $$\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}$$ O como normalmente se muestra: $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$ Corresponde a la ecuación diferencial: $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$ El problema es hallar la función $f$ que...

Para esta ocasión vamos a resolver la siguiente integral: $$\int \frac{1}{1-x^{2}y^{2}}dx$$ Donde $y$ es una constante, esto debido a que estamos integrando respecto a $x$. Como el denominador es una diferencia de cuadrados podemos escribirlo como sigue: $$\int \frac{1}{(1-yx)(1+yx)}dx$$ Aplicamos el método de fracciones parciales: $$\frac{1}{(1-yx)(1+yx)}=\frac{A}{1-yx}+\frac{B}{1+yx}$$ Donde $A$ y $B$ son dos números que tenemos que hallar, realizamos la suma de la derecha y cancelamos términos en ambos lados de la expresión: $$\frac{1}{(1-yx)(1+yx)}=\frac{A(1+yx)+B(1-yx)}{(1-yx)(1+yx)}$$ $$1=A(1+yx)+B(1-yx)$$ Damos el valor $x=\frac{1}{y}$ para hallar el valor de $A$ y se nos cancela el término en $B$ quedando: $$1=A(1+y\frac{1}{y})+B(1-y\frac{1}{y})$$ $$1=A(1+1)+B(1-1)$$ $$1=2A+0$$ $$\frac{1}{2}=A$$ Ahora damos el valor $x=-\frac{1}{y}$ para hallar el valor de $B$ y se nos cancela el término en $A$: $$1=A(1-y\frac{1}{y})+B(1+y\frac{1}{y})$$ \[1=A(...

Vamos a hallar la derivada con respecto a la variable $y$ del siguiente cociente: $$\frac{y}{1-x^{2}y^{2}}$$ La derivada de un cociente dadas las funciones $f$ y $g$ es: $$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-g'f}{g^{2}}$$ Donde $f'$ y $g'$ corresponden a derivadas Donde $x^{2}$ va a actuar como constante, $f=y$ y $g=1-x^{2}y^{2}$ Hallamos la derivada: $$\frac{d}{dy}\left(\frac{y}{1-x^{2}y^{2}}\right)=\frac{1(1-x^{2}y^{2})-y(-2yx^{2})}{(1-x^{2}y^{2})^{2}}$$ Realizamos el álgebra correspondiente y obtenemos el resultado: $$\frac{d}{dy}\left(\frac{y}{1-x^{2}y^{2}}\right)=\frac{1+x^{2}y^{2}}{(1-x^{2}y^{2})^{2}}$$ Que corresponde a nuestra derivada que queremos hallar.

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 7 de ecuaciones homogéneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Determinar si la ecuación es exacta y resolverla $$(sen(x)sen(y)-xe^{y})dy=(e^{y}+cos(x)cos(y))dx$$ Primero debemos igualar a cero para poder calcular las respectivas derivadas y tendremos: $$-(e^{y}+cos(x)cos(y))dx+(sen(x)sen(y)-xe^{y})dy=0$$ Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente: $$\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}$$ O como normalmente se muestra: $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$ Corresponde a la ecuación diferencial: $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$ El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (co...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 6 de ecuaciones homogéneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Determinar si la ecuación es exacta y resolverla $$cos(x)cos^{2}ydx+2sen(x)sen(y)cos(y)dy=0$$ Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente: $$\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}$$ O como normalmente se muestra: $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$ Corresponde a la ecuación diferencial: $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$ El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso). Calculamos la derivada parcial de $M$ respecto a $y$, del problema que vamos a intentar so...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 48 de ecuaciones homogéneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. El problema es el siguiente: Suponga que $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ es una ecuación homogénea. Pruebe que las sustituciones $x=rcos\theta$ y $y=rsen\theta$ reducen la ecuación a una de variables separables Como $x=rcos\theta$, y $y=rsen\theta$ hallamos sus derivadas: $$dx=cos\theta dr-rsen\theta d\theta$$ $$dy=sen\theta dr+rcos\theta d\theta$$ Luego es posible realizar el cambio de variable con sus respectivas derivadas: $$M(rcos\theta,rsen\theta)(cos\theta dr-rsen\theta d\theta)+N(rcos\theta,rsen\theta)(sen\theta dr+rcos\theta d\theta)=0$$ Debido a la homogeneidad de $M$ y $N$: $$rM(cos\theta,sen\theta)(cos\theta dr-rsen\theta d\theta)+rN(cos\theta,sen\theta)(sen\theta dr+rcos\theta d\theta)=0$$ Separamos términos: \[rM(cos\theta,sen\theta)cos\theta dr-r^{2}M(cos\theta,sen...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 40 de ecuaciones homogéneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. La ecuación diferencial a resolver es la siguiente: $$ydx+x(ln(x)-ln(y)-1)dy=0$$ Con condición inicial $y(1)=e$ (Las condiciones iniciales se utilizan para hallar la constante de integración). Los términos al lado de los diferenciales tienen grado $0$, por lo tanto es posible resolver la ecuación diferencial mediante el método de las ecuaciones diferenciales homogéneas. El cambio de variable para la ecuación diferencial es: $$u=yln(x)$$ Calculamos sus derivadas: $$du=ln(x)dy+\frac{y}{x}dx$$ Despejamos $\frac{y}{x}dx$: $$\frac{y}{x}dx=du-ln(x)dy$$ Si dividimos nuestra ecuación diferencial por $x$, nos quedara de la forma: $$\frac{y}{x}dx+(ln(x)-ln(y)-1)dy=0$$ Cambiamos el valor $\frac{y}{x}dx$ que obtuvimos anteriormente a nuestra ecuación diferencial, quedando ya separadas las...

La integral que queremos hallar es la siguiente: $$\int ln(y)dy$$ Debemos aplicar integración por partes: Uniforme de Vaca es para Una Vaca Vestida de Uniforme : $$\int UdV=UV-\int VdU$$ Acá $U=ln(y)$, $dU=\frac{1}{y}dy$, y $dV=dy$, $V=y$, aplicamos el procedimiento respectivo de integración por partes obteniendo: $$\int ln(y)dy=yln(y)-\int \frac{1}{y}ydy=yln(y)-\int dy$$ Obtenemos el resultado: $$\int ln(y)dy=yln(y)-y+C$$ Sacando factor común llegamos finalmente a la integral de logaritmo natural: $$\int ln(y)dy=y(ln(y)-1)+C$$

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 24 de ecuaciones homogéneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. La ecuación diferencial a resolver es la siguiente: $$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\frac{x^{2}}{y^{2}}+1$$ $$dy=\left(\frac{y}{x}+\frac{x^{2}}{y^{2}}+1\right)dx$$ Los términos al lado de los diferenciales tienen grado $0$, por lo tanto es posible resolver la ecuación diferencial mediante el método de las ecuaciones diferenciales homogéneas. El cambio de variable para que sea una ecuación diferencial separable es: $$y=wx$$ Aplicamos el cambio de variable: $$dy=\left(w+\frac{1}{w^{2}}+1\right)dx$$ Calculamos la derivada de $y$ respecto al cambio de variable: $$dy=xdw+wdx$$ Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial para luego separar variables: $$xdw-\left(\frac{1}{w^{2}}+1\right)dx=0$$ $$\frac{dw}{\frac{1}{w^{2}}+1}=\frac{dx}{x}$$ $$\frac{w^{2}dw}{1+w^{2}}=\frac{dx}{x}$$ Integ...

Nuestro problema ahora es hallar la integral a la función arcotangente: $$\int arctan(w)dw$$ Debemos aplicar integración por partes: Uniforme de Vaca es para Una Vaca Vestida de Uniforme : $$\int UdV=UV-\int VdU$$ Acá $U=arctan(w)$, su derivada es: $dU=\frac{1}{1+w^{2}}$, y $dV=dw$, su integral es: $V=w$, aplicamos de acuerdo a la integración por partes: $$\int arctan(w)dw=w \cdot arctan(w)-\int \frac{w}{1+w^{2}}dw$$ Para la última integral utilizamos una sustitución, sí $p=1+w^{2}$, $dp=2wdw$, entonces $\frac{dp}{2}=wdw$, y la respectiva integral queda como: $$\frac{1}{2}\int \frac{dp}{p}=\frac{1}{2}ln(p)+C$$ Deshacemos la sustitución: $$\frac{1}{2}ln(1+w^{2})+C$$ Reemplazamos este resultado para obtener el resultado de la integral arcotangente: $$\int arctan(w)dw=w \cdot arctan(w)-\frac{1}{2}ln(1+w^{2})+C$$ Finalmente obteniendo el resultado deseado.

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 19 de ecuaciones homogéneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. La ecuación diferencial a resolver es la siguiente: $$-ydx+(x+\sqrt{xy})dy=0$$ Los términos al lado de los diferenciales tienen grado $1$, por lo tanto es posible resolver la ecuación diferencial mediante el método de las ecuaciones diferenciales homogéneas. El cambio de variable para que sea una ecuación diferencial separable es: $$u=\frac{x}{y}$$ Hallamos la derivada: $$du=\frac{ydx-xdy}{y^{2}}$$ Despejamos $ydx$ $$ydx=y^{2}du+xdy$$ $$-ydx=-y^{2}du-xdy$$ Reemplazamos este resultado en nuestra ecuación diferencial, además el término de la raíz cuadrada queda $\sqrt{xy}=\sqrt{u}y$, la nueva ecuación diferencial será: $$-y^{2}du-\sqrt{u}ydy=0$$ Dividiendo por $y$ toda la ecuación diferencial, finalmente podemos separar variables e integrar: $$-ydu-\sqrt{u}dy=0$$ \[ydu+\sqrt{u...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 56 de separación de variables del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. La ecuación diferencial a resolver es la siguiente: $$\frac{dy}{dx}=1+e^{y-x+5}$$ Sea $u=1+e^{y-x+5}$, luego: $$\frac{du}{dx}=\frac{dy}{dx}e^{y-x+5}-e^{y-x+5}$$ Sacamos factor común: $$\frac{du}{dx}=e^{y-x+5}\left(\frac{dy}{dx}-1\right)$$ Luego $e^{y-x+5}=u-1$ y $\frac{dy}{dx}$ corresponde a nuestra ecuación diferencial, tenemos ahora la nueva ecuación diferencial debido a la sustitución: $$\frac{du}{dx}=(u-1)^{2}$$ Realizamos la separación de variables e integramos: $$\int \frac{du}{(u-1)^{2}}=\int dx$$ En el primer término utilizamos integración por sustitución y obtenemos: $$\int \frac{du}{(u-1)^{2}}=-\frac{1}{u-1}+C_{1}$$ La solución a nuestra ecuación diferencial es, debido a que la segunda integral es fundamental: $$-\frac{1}{u-1}+C_{1}=x+C_{2}$$ Y desde un principi...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 35 de separación de variables del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. La ecuación diferencial a resolver es la siguiente: $$\frac{dy}{dx}=sen(x)(cos(2y)-cos^{2}(y))$$ Recordamos las identidades de ángulos dobles para el coseno de un mismo ángulo: $$cos(2y)=cos^{2}(y)-sen^{2}(y)$$ Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial: $$\frac{dy}{dx}=sen(x)(cos^{2}(y)-sen^{2}(y)-cos^{2}(y))$$ $$\frac{dy}{dx}=sen(x)(-sen^{2}(y))$$ Realizamos la separación de variables: $$-\frac{dy}{sen^{2}(y)}=sen(x)dx$$ Que será lo mismo a: $$-csec^{2}(y)dy=sen(x)dx$$ Luego integramos nuestras funciones trigonométricas: $$\int -csec^{2}(y)dy=\int sen(x)dx$$ $$ctan(y)+C_{1}=cos(x)+C_{2}$$ $$ctan(y)=cos(x)+C_{2}-C_{1}$$ $$ctan(y)=cos(x)+K$$ Donde $K=C_{2}-C_{1}$ y recordamos que la derivada de $ctan(y)$ es $-csec^{2}(y)$, luego la integral de la anterior función será ...

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 26 de separación de variables del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. La ecuación diferencial a resolver es la siguiente: $$sen(3x)dx+2ycos^{3}(3x)dy=0$$ Dividimos por $cos^{3}(3x)$ y pasamos a restar los términos que tienen $y$: $$\frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx=-2ydy$$ Ahora podemos integrar: $$\int \frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx=-2\int ydy$$ Integramos por sustitución la primera integral y obtenemos la siguiente respuesta: $$\int \frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx=\frac{1}{6}sec^{2}(3x)+C_{1}$$ La segunda integral si es fundamental, luego la respuesta a nuestra ecuación diferencial es: $$\frac{1}{6}sec^{2}(3x)+C_{1}=-y^{2}+C_{2}$$ $$\frac{1}{6}sec^{2}(3x)=-y^{2}+C_{2}-C_{1}$$ $$\frac{1}{6}sec^{2}(3x)=-y^{2}+K$$ Donde $K=C_{2}-C_{1}$

En este caso después de no publicar hace un poco de tiempo, vengo a mostrarles la solución al ejercicio 14 de separación de variables del libro de Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición, del autor Dennis G. Zill. La ecuación diferencial a resolver es la siguiente: $$e^{x}y\frac{dy}{dx}=e^{-y}+e^{-2x-y}$$ Separando el exponente $e^{-2x-y}=e^{-2x}e^{-y}$, podemos sacar factor común $e^{-y}$ $$e^{x}y\frac{dy}{dx}=e^{-y}(1+e^{-2x})$$ Dividiendo por $e^{-y}$ y $e^{x}$ en ambos lados: $$e^{y}y\frac{dy}{dx}=\frac{1+e^{-2x}}{e^{x}}$$ Separamos la división: $$e^{y}y\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^{x}}+\frac{e^{-2x}}{e^{x}}$$ Recordamos que $\frac{1}{e^{x}}=e^{-x}$ y $\frac{e^{-2x}}{e^{x}}=e^{-3x}$ por reglas de exponentes: $$e^{y}y\frac{dy}{dx}=e^{-x}+e^{-3x}$$ Luego es posible realizar la separación de variables: $$e^{y}ydy=(e^{-x}+e^{-3x})dx$$ Integramos y obtenemos la respuesta a la ecuación diferencial propuesta: $$\int e^{y}ydy=\int (e^{-x}+e^{-3x})dx$$ La integral p...

A un mono se le dan 9 bloques: 3 en forma de cuadrados ,3 como rectángulos y 3 como triángulos. si saca tres de cada clase en orden, es decir, tres triángulos, luego la misma cantidad de cuadrados y así sucesivamente. ¿ sospecharía usted que el mono asoció figuras que tengan forma idéntica?. calcule la probabilidad de este evento. Como tenemos 3 figuras, debemos tener en cuenta todas las posibles formas de organizarlas, Luego una forma de representar este orden es de la siguiente manera: Tomamos $C$ como Cuadrado, $R$ como Rectángulo, y $T$ como Triángulo $$CRT \quad RTC \quad TCR$$ $$CTR \quad RCT \quad TRC$$ Que corresponden a $6$ formas de organizar las tres figuras, este procedimiento se puede representar fácilmente con la operación factorial, para nuestro caso queda definido como: $$3!=3 \times 2 \times 1 = 6$$ Luego por cada vez que el mono saca tres bloques, estos vendrán organizados de $3!$ formas, y como son 3 tandas de veces que el mono va a sacar cantidades...

La ecuación diferencial a resolver es de la forma: $$Lq''(t)+Rq'(t)+\frac{1}{C}q(t)=E(t)$$ Los valores de las constantes son los siguientes $L=\frac{1}{4}H$, $R(t)=\left(1+\frac{t}{8}\right)\Omega$, $C=4F$, $E(t)=0$, reemplazando dichos valores la ecuación diferencial a resolver es de la forma: $$\frac{1}{4}q''(t)+\left(1+\frac{t}{8}\right)q'(t)+\frac{1}{4}q(t)=0$$ Se propone una solución en series de potencias y sus correspondientes derivadas de hasta segundo orden: $$q(t)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}t^{n}$$ $$q(t)'=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}nt^{n-1}$$ $$q(t)''=\sum_{n=2}^{\infty}c_{n}n(n-1)t^{n-2}$$ Reemplazando en nuestra ecuación diferencial tenemos: $$\frac{1}{4}\sum_{n=2}^{\infty}c_{n}n(n-1)t^{n-2}+\left(1+\frac{t}{8}\right)\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}nt^{n-1}+\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}t^{n}=0$$ Distribuyendo para la segunda sumatoria tenemos: \[\frac{1}{4}\sum_{n=2}^{\infty}c_{n}n(n-1)t^{n-2}+\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}nt^{n-1}+\frac{t}...

La ecuación diferencial a resolver es: $$y'+y=0$$ Proponemos una solución como en el punto anterior con sus correspondientes derivadas hasta primer orden: $$y=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}$$ $$y'=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}nx^{n-1}$$ Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial y tenemos: $$\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}nx^{n-1}+\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}=0$$ Realizamos un cambio de indices para la primera sumatoria con $k=n-1$, y por lo tanto $n=k+1$ y para la segunda sumatoria con $k=n$, reemplazamos en nuestra ecuación diferencial y nos quedara: $$\sum_{k=0}^{\infty}c_{k+1}(k+1)x^{k}+\sum_{k=0}^{\infty}c_{k}x^{k}=0$$ Que podemos escribir de la forma: $$\sum_{k=0}^{\infty}[c_{k+1}(k+1)+c_{k}]x^{k}=0$$ Luego: $$\sum_{k=0}^{\infty}\underbrace{[c_{k+1}(k+1)+c_{k}]}_{=0}\underbrace{x^{k}}_{\neq0}=0$$ Obtenemos una ecuación característica de la cual vamos a sacar los valores de la ecuación diferencial: $$c_{k+1}(k+1)+c_{k}=0$$ $$c_{k+1}(k+1)=-c_{k}$$ \[c_...

La ecuación diferencial a resolver es: $$y''(x)+8xy'(x)-4y(x)=0$$ Vamos a utilizar el método de series de potencias dado que es una ecuación diferencial ordinaria con parámetros variables, luego proponemos una solución con sus respectivas derivadas hasta segundo orden de la forma: $$y=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}$$ $$y'=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}nx^{n-1}$$ $$y''=\sum_{n=2}^{\infty}c_{n}n(n-1)x^{n-2}$$ Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial y tenemos: $$\sum_{n=2}^{\infty}c_{n}n(n-1)x^{n-2}+8x\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}nx^{n-1}-4\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}=0$$ El término $x$ del segundo termino afecta a la sumatoria y queda de la forma: $$\sum_{n=2}^{\infty}c_{n}n(n-1)x^{n-2}+8\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}nx^{n}-4\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}=0$$ Luego si hacemos $k=n-2$, y por lo tanto $n=k+2$, para la primera sumatoria y $k=n$ para la segunda y tercera sumatoria, la ecuación anterior me quedara de la forma: \[\sum_{k=0}^{\infty}c_{k+2}(k+2)(k+1)x^{k}+...

La ecuación que vamos a resolver es: $$y''-5y'+4y=1$$ Proponemos una solución $y=e^{mx}$ y sus correspondientes derivadas $y'=me^{mx}$ y $y''=m^{2}e^{mx}$ y reemplazamos en nuestra ecuación homogenea que es de la forma: $$y''-5y'+4y=0$$ $$m^{2}e^{mx}-5me^{mx}+4e^{mx}=0$$ Factorizamos $e^{mx}$ y tenemos: $$\overbrace{ e^{mx}}^{\neq 0}\overbrace{[m^{2}-5m+4]}^{=0}=0$$ Por lo tanto tenemos que resolver la cuadrática: $$m^{2}-5m+4=0$$ La cual admite factorización de la forma: $$(m-1)(m-4)=0$$ Luego las raíces correspondientes serán  $m_{1}=1$, $m_{2}=4$ y la solución complementaria será: $$y_{c}=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{4x}$$ Ahora es posible hallar la solución particular $y_{p}$ a partir de nuestra solución conocida que es nuestra solución complementaria, tendremos: $$W=\begin{vmatrix}u_{1} & u_{2}\\u'_{1}& u'_{2}\end{vmatrix}$$ Nos damos cuenta que la solución es de la forma $y=c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}$ luego reemplazamos dichas f...

Para la solución de la ecuación diferencial: $$\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+10\theta=0$$ Nos piden hallar las constantes $c_{1}$ y $c_{2}$ de acuerdo a las condiciones iniciales $\theta(0)=0,2$ y $\frac{d\theta}{dt}=1 \frac{rad}{s}$. Como es una ecuación diferencial homogénea, Proponemos una solución $\theta=e^{mt}$ y hallamos sus derivadas, $\frac{d\theta}{dt}=me^{mt}$, $\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=m^{2}e^{mt}$ Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial: $$m^{2}e^{mt}+10e^{mt}=0$$ Factorizamos $e^{mt}$: $$e^{mt}(m^{2}+10)=0$$ Como $e^{mt}$ no puede ser cero, hallamos las soluciones de $m^{2}+10$ y tenemos: $$m_1=i\sqrt{10} \quad m_2=-i\sqrt{10}$$ Por lo tanto la solución queda de la forma: $$\theta(t)=e^{i\sqrt{10}}+e^{-i\sqrt{10}}$$ Aplicamos la identidad de Euler : $$e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta$$ Simplificando con la identidad de Euler: $$\theta(t)=c_1cos(\sqrt{10}t)+c_2sen(\sqrt{10}t)$$ Utilizando las condiciones iniciales, vamos a obtener las constant...

Tenemos la ecuación diferencial no homogénea: $$y''+9y=sec(x)$$ Primero hallamos la solución complementaria $y_{c}$, que se obtiene de resolver la ecuación diferencial homogénea: $$y''+9y=0$$ Proponemos una solución de la forma $y=e^{mx}$ y sus derivadas $y'=me^{mx}$, $y''=m^{2}e^{mx}$, reemplazamos en nuestra ecuación diferencial: $$m^{2}e^{mx}+9e^{mx}=0$$ Factorizamos $e^{mx}$ y como este ultimo no puede ser cero, la ecuación cuadrática a resolver para determinar $m$ es de la forma: $$e^{mx}(m^{2}+9)=0$$ $$m^{2}+9=0$$ Las soluciones a esa ecuación cuadrática son de la forma: $$m_1=i3 \quad m_2=-i3$$ La solución particular es de la forma: $$y_c=C_1e^{i3x}+C_2e^{-i3x}$$ Aplicamos la identidad de Euler  y obtenemos: $$y_c=c_1cos(3x)+c_2sen(3x)$$ Para hallar la solución particular $y_p$ utilizamos el método de variación de parámetros, que emplea el Wronskiano: \[W(f(x),g(x))=\begin{vmatrix}f(x) & g(x)\\f'(x) & g'(x)\end{vmatrix}...

Nuestra ecuación diferencial a resolver es la siguiente: $$\frac{2}{7}x^{3}y'''+\frac{8}{7}x^{2}y''-\frac{4}{7}y=0$$ El método de Cauchy-Euler nos pide proponer una solución de la forma: $$y=x^{m}$$ Donde $m$ es el parámetro que tenemos que encontrar, así que hallamos las derivadas correspondientes y tenemos: $$y'=mx^{m-1} \quad y''=m(m-1)x^{m-2} \quad y'''=m(m-1)(m-2)x^{m-3}$$ Reemplazamos en la ecuación diferencial que vamos a resolver y tenemos: $$\frac{2}{7}x^{3}m(m-1)(m-2)x^{m-3}+\frac{8}{7}x^{2}m(m-1)x^{m-2} -\frac{4}{7}x^{m}=0$$ Organizamos términos: $$\frac{2}{7}x^{3}x^{m-3}m(m-1)(m-2)+\frac{8}{7}x^{2}x^{m-2}m(m-1) -\frac{4}{7}x^{m}=0$$ Aplicamos propiedades de exponentes : $$\frac{2}{7}x^{m}m(m-1)(m-2)+\frac{8}{7}x^{m}m(m-1) -\frac{4}{7}x^{m}=0$$ Factorizamos $x^{m}$ y tenemos: $$x^{m}\left(\frac{2}{7}m(m-1)(m-2)+\frac{8}{7}m(m-1) -\frac{4}{7}\right)=0$$ Como $x^{m}$ no puede ser cero, lo será el término e...

Bienvenido querido lector En este blog vamos a explorar varias soluciones de ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones con sus respectivos procedimientos, así como explicaciones acerca de los mismos. Dentro de lo posible vamos a solucionar ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, de diferentes grados y también integrales, derivadas o algunos temas de interés. Espero que sea de gran ayuda para solucionar tus dudas Igualmente no dudes en comentar que ecuación diferencial quieres que resuelva, y con mucho gusto lo intentaré.