¿Cómo resolver una ecuación diferencial de segundo orden y encontrar el valor de las constantes? 1

Para la solución de la ecuación diferencial:
\[\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+10\theta=0\]
Nos piden hallar las constantes $c_{1}$ y $c_{2}$ de acuerdo a las condiciones iniciales $\theta(0)=0,2$ y $\frac{d\theta}{dt}=1 \frac{rad}{s}$.
Como es una ecuación diferencial homogénea, Proponemos una solución $\theta=e^{mt}$ y hallamos sus derivadas, $\frac{d\theta}{dt}=me^{mt}$, $\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=m^{2}e^{mt}$
Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial:
\[m^{2}e^{mt}+10e^{mt}=0\]
Factorizamos $e^{mt}$:
\[e^{mt}(m^{2}+10)=0\]
Como $e^{mt}$ no puede ser cero, hallamos las soluciones de $m^{2}+10 $ y tenemos:
\[m_1=i\sqrt{10} \quad m_2=-i\sqrt{10}\]
Por lo tanto la solución queda de la forma:
\[\theta(t)=e^{i\sqrt{10}}+e^{-i\sqrt{10}}\]
Aplicamos la identidad de Euler:
\[e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta\]
Simplificando con la identidad de Euler:
\[\theta(t)=c_1cos(\sqrt{10}t)+c_2sen(\sqrt{10}t)\]
Utilizando las condiciones iniciales, vamos a obtener las constantes $c_1$ y $c_2$, para $\theta(0)=0,2$ reemplazamos en nuestra solución y tenemos:
\[\theta(t)=c_1cos(\sqrt{10}t)+c_2sen(\sqrt{10}t)\]
\[\theta(0)=c_1cos(\sqrt{10}(0))+c_2sen(\sqrt{10}(0))\]
\[0,2=c_1(cos(0))+c_2(sen(0))\]
\[0,2=c_1(1)+c_2(0)\]
\[0,2=c_1\]
Ahora hallamos la derivada según nuestra segunda condición inicial $\frac{d\theta}{dt}=1 \frac{rad}{s}$ en $t=0$ y tenemos:
\[\theta(t)=c_1cos(\sqrt{10}t)+c_2sen(\sqrt{10})\]
\[\frac{d\theta}{dt}=(-\sqrt{10})(0,2)(sen(\sqrt{10}t))+\sqrt{10}c_2(cos(\sqrt{10}t))\]
\[1=(-\sqrt{10})(0,2)(sen(0))+10c_2(cos(0))\]
\[1=\sqrt{10} c_2\]
\[c_2=\frac{1}{\sqrt{10}}\]
Luego la solución dadas las condiciones iniciales es:
\[\theta(t)=0,2cos(\sqrt{10}t)+\frac{1}{\sqrt{10}}sen(\sqrt{10}t)\]