¿Cómo resolver una ecuación diferencial de segundo orden y encontrar el valor de las constantes? 1

Para la solución de la ecuación diferencial:
$$\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+10\theta=0$$
Nos piden hallar las constantes $c_{1}$ y $c_{2}$ de acuerdo a las condiciones iniciales $\theta(0)=0,2$ y $\frac{d\theta}{dt}=1 \frac{rad}{s}$.
Como es una ecuación diferencial homogénea, Proponemos una solución $\theta=e^{mt}$ y hallamos sus derivadas, $\frac{d\theta}{dt}=me^{mt}$, $\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=m^{2}e^{mt}$
Reemplazamos en nuestra ecuación diferencial:
$$m^{2}e^{mt}+10e^{mt}=0$$
Factorizamos $e^{mt}$:
$$e^{mt}(m^{2}+10)=0$$
Como $e^{mt}$ no puede ser cero, hallamos las soluciones de $m^{2}+10$ y tenemos:
$$m_1=i\sqrt{10} \quad m_2=-i\sqrt{10}$$
Por lo tanto la solución queda de la forma:
$$\theta(t)=e^{i\sqrt{10}}+e^{-i\sqrt{10}}$$
Aplicamos la identidad de Euler:
$$e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta$$
Simplificando con la identidad de Euler:
$$\theta(t)=c_1cos(\sqrt{10}t)+c_2sen(\sqrt{10}t)$$
Utilizando las condiciones iniciales, vamos a obtener las constantes $c_1$ y $c_2$, para $\theta(0)=0,2$ reemplazamos en nuestra solución y tenemos:
$$\theta(t)=c_1cos(\sqrt{10}t)+c_2sen(\sqrt{10}t)$$
$$\theta(0)=c_1cos(\sqrt{10}(0))+c_2sen(\sqrt{10}(0))$$
$$0,2=c_1(cos(0))+c_2(sen(0))$$
$$0,2=c_1(1)+c_2(0)$$
$$0,2=c_1$$
Ahora hallamos la derivada según nuestra segunda condición inicial $\frac{d\theta}{dt}=1 \frac{rad}{s}$ en $t=0$ y tenemos:
$$\theta(t)=c_1cos(\sqrt{10}t)+c_2sen(\sqrt{10})$$
$$\frac{d\theta}{dt}=(-\sqrt{10})(0,2)(sen(\sqrt{10}t))+\sqrt{10}c_2(cos(\sqrt{10}t))$$
$$1=(-\sqrt{10})(0,2)(sen(0))+10c_2(cos(0))$$
$$1=\sqrt{10} c_2$$
$$c_2=\frac{1}{\sqrt{10}}$$
Luego la solución dadas las condiciones iniciales es:
$$\theta(t)=0,2cos(\sqrt{10}t)+\frac{1}{\sqrt{10}}sen(\sqrt{10}t)$$