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¿Cómo integrar por fracciones parciales? Ejemplo 1

Para esta ocasión vamos a resolver la siguiente integral:
11x2y2dx
Donde y es una constante, esto debido a que estamos integrando respecto a x.
Como el denominador es una diferencia de cuadrados podemos escribirlo como sigue:
1(1yx)(1+yx)dx
Aplicamos el método de fracciones parciales:
1(1yx)(1+yx)=A1yx+B1+yx
Donde A y B son dos números que tenemos que hallar, realizamos la suma de la derecha y cancelamos términos en ambos lados de la expresión:
1(1yx)(1+yx)=A(1+yx)+B(1yx)(1yx)(1+yx)
1=A(1+yx)+B(1yx)
Damos el valor x=1y para hallar el valor de A y se nos cancela el término en B quedando:
1=A(1+y1y)+B(1y1y)
1=A(1+1)+B(11)
1=2A+0
12=A
Ahora damos el valor x=1y para hallar el valor de B y se nos cancela el término en A:
1=A(1y1y)+B(1+y1y)
1=A(1+1)+B(1+1)
1=0+2B
12=B
Por lo tanto la integral que queremos resolver la podemos representar como:
11x2y2dx=A1yxdx+B1+yxdx
Cambiando los valores de A y B, por los respectivos resultados hallados:
11x2y2dx=1211yxdx+1211+yxdx
A la primera integral de la derecha le hacemos una sustitución u=1yx, du=ydx; entonces duy=dx y para la segunda integral de la derecha una sustitución similar v=1yx, dv=ydx; entonces dvy=dx, nos quedan las sencillas integrales:
12yduu+12ydvv
12yln(u)+12yln(v)+C
Deshacemos el cambio de variable y tenemos nuestro resultado:
11x2y2dx=12yln(1yx)+12yln(1+yx)+C

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