Para esta ocasión vamos a resolver la siguiente integral:
\[\int \frac{1}{1-x^{2}y^{2}}dx\]
Donde $y$ es una constante, esto debido a que estamos integrando respecto a $x$.
Como el denominador es una diferencia de cuadrados podemos escribirlo como sigue:
\[\int \frac{1}{(1-yx)(1+yx)}dx\]
Aplicamos el método de fracciones parciales:
\[\frac{1}{(1-yx)(1+yx)}=\frac{A}{1-yx}+\frac{B}{1+yx}\]
Donde $A$ y $B$ son dos números que tenemos que hallar, realizamos la suma de la derecha y cancelamos términos en ambos lados de la expresión:
\[\frac{1}{(1-yx)(1+yx)}=\frac{A(1+yx)+B(1-yx)}{(1-yx)(1+yx)}\]
\[1=A(1+yx)+B(1-yx)\]
Damos el valor $x=\frac{1}{y}$ para hallar el valor de $A$ y se nos cancela el término en $B$ quedando:
\[1=A(1+y\frac{1}{y})+B(1-y\frac{1}{y})\]
\[1=A(1+1)+B(1-1)\]
\[1=2A+0\]
\[\frac{1}{2}=A\]
Ahora damos el valor $x=-\frac{1}{y}$ para hallar el valor de $B$ y se nos cancela el término en $A$:
\[1=A(1-y\frac{1}{y})+B(1+y\frac{1}{y})\]
\[1=A(1+1)+B(1+1)\]
\[1=0+2B\]
\[\frac{1}{2}=B\]
Por lo tanto la integral que queremos resolver la podemos representar como:
\[\int \frac{1}{1-x^{2}y^{2}}dx=\int \frac{A}{1-yx}dx+\int \frac{B}{1+yx}dx\]
Cambiando los valores de $A$ y $B$, por los respectivos resultados hallados:
\[\int \frac{1}{1-x^{2}y^{2}}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1-yx}dx+\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+yx}dx\]
A la primera integral de la derecha le hacemos una sustitución $u=1-yx$, $du=-ydx$; entonces $-\frac{du}{y}=dx$ y para la segunda integral de la derecha una sustitución similar $v=1-yx$, $dv=ydx$; entonces $\frac{dv}{y}=dx$, nos quedan las sencillas integrales:
\[-\frac{1}{2y}\int \frac{du}{u}+\frac{1}{2y}\int \frac{dv}{v} \]
\[-\frac{1}{2y}ln(u)+\frac{1}{2y}ln(v)+C \]
Deshacemos el cambio de variable y tenemos nuestro resultado:
\[\int \frac{1}{1-x^{2}y^{2}}dx=-\frac{1}{2y}ln(1-yx)+\frac{1}{2y}ln(1+yx)+C \]
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