Para esta ocasión vamos a resolver la siguiente integral:
∫11−x2y2dx
Donde y es una constante, esto debido a que estamos integrando respecto a x.
Como el denominador es una diferencia de cuadrados podemos escribirlo como sigue:
∫1(1−yx)(1+yx)dx
Aplicamos el método de fracciones parciales:
1(1−yx)(1+yx)=A1−yx+B1+yx
Donde A y B son dos números que tenemos que hallar, realizamos la suma de la derecha y cancelamos términos en ambos lados de la expresión:
1(1−yx)(1+yx)=A(1+yx)+B(1−yx)(1−yx)(1+yx)
1=A(1+yx)+B(1−yx)
Damos el valor x=1y para hallar el valor de A y se nos cancela el término en B quedando:
1=A(1+y1y)+B(1−y1y)
1=A(1+1)+B(1−1)
1=2A+0
12=A
Ahora damos el valor x=−1y para hallar el valor de B y se nos cancela el término en A:
1=A(1−y1y)+B(1+y1y)
1=A(1+1)+B(1+1)
1=0+2B
12=B
Por lo tanto la integral que queremos resolver la podemos representar como:
∫11−x2y2dx=∫A1−yxdx+∫B1+yxdx
Cambiando los valores de A y B, por los respectivos resultados hallados:
∫11−x2y2dx=12∫11−yxdx+12∫11+yxdx
A la primera integral de la derecha le hacemos una sustitución u=1−yx, du=−ydx; entonces −duy=dx y para la segunda integral de la derecha una sustitución similar v=1−yx, dv=ydx; entonces dvy=dx, nos quedan las sencillas integrales:
−12y∫duu+12y∫dvv
−12yln(u)+12yln(v)+C
Deshacemos el cambio de variable y tenemos nuestro resultado:
∫11−x2y2dx=−12yln(1−yx)+12yln(1+yx)+C
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