¿Cómo resolver una ecuación diferencial que involucra circuitos por el método de series de potencias, hallando sus constantes?
La ecuación diferencial a resolver es de la forma:
Lq″(t)+Rq′(t)+1Cq(t)=E(t)
Los valores de las constantes son los siguientes L=14H, R(t)=(1+t8)Ω, C=4F, E(t)=0, reemplazando dichos valores la ecuación diferencial a resolver es de la forma:
14q″(t)+(1+t8)q′(t)+14q(t)=0
Se propone una solución en series de potencias y sus correspondientes derivadas de hasta segundo orden:
q(t)=∞∑n=0cntn
q(t)′=∞∑n=1cnntn−1
q(t)″=∞∑n=2cnn(n−1)tn−2
Reemplazando en nuestra ecuación diferencial tenemos:
14∞∑n=2cnn(n−1)tn−2+(1+t8)∞∑n=1cnntn−1+14∞∑n=0cntn=0
Distribuyendo para la segunda sumatoria tenemos:
14∞∑n=2cnn(n−1)tn−2+∞∑n=1cnntn−1+t8∞∑n=1cnntn−1+14∞∑n=0cntn=0
Multiplicando el término t que le aporta a la tercera sumatoria tendremos:
14∞∑n=2cnn(n−1)tn−2+∞∑n=1cnntn−1+18∞∑n=0cnntn+14∞∑n=0cntn=0
Hacemos k=n−2 y n=k+2 para la primera sumatoria, k=n−1 y n=k+1 para la segunda sumatoria y k=n para la tercera y cuarta sumatoria, reemplazamos y tenemos:
14∞∑k=0ck+2(k+2)(k+1)tk+∞∑k=0ck+1(k+1)tk+18∞∑k=0ckktk+14∞∑k=0cktk=0
Que se puede escribir de la forma:
∞∑k=0[14ck+2(k+2)(k+1)+ck+1(k+1)+18ckk+14ck]tk=0
Luego:
∞∑k=0[14ck+2(k+2)(k+1)+ck+1(k+1)+18ckk+14ck]⏟=0tk⏟≠0=0
Al despejar la constante de mayor valor en términos de las constantes de valor tendremos:
14ck+2(k+2)(k+1)+ck+1(k+1)+18ckk+14ck=0
14ck+2(k+2)(k+1)+ck+1(k+1)+14ck[k2+1]=0
14ck+2(k+2)(k+1)=−ck+1(k+1)−14ck[k2+1]
ck+2=−4(k+1)ck+1(k+2)(k+1)−44ck(k+2)(k+1)[k2+1]
ck+2=−4(k+1)ck+1(k+2)(k+1)−44ck(k+2)(k+1)[k+22]
ck+2=−4ck+1(k+2)−ck2(k+1)
Le damos valores desde k=0 hasta el valor k=3 dado que se piden calcular los primeros 5 términos de cada solución, por lo tanto:
Para k=0:
c0+2=−4c0+1(0+2)−c02(0+1)
c2=−4c12−c02(1)
c2=−4c12−c02
c2=−2c1−c02
Para k=1:
c1+2=−4c1+1(1+2)−c12(1+1)
c3=−4c23−c12(2)
c3=−4c23−c14
c3=−43(−2c1−c02)−c14
c3=8c13+4c06−c14
c3=8c13−c14+4c06
c3=32c112−3c112+4c06
c3=29c112+2c03
Para k=2:
c2+2=−4c2+1(2+2)−c22(2+1)
c4=−4c34−c22(3)
c4=−4c34−c26
c4=−44(29c112+2c03)−16(−2c1−c02)
c4=−29c112−2c03+4c112+c012
c4=−29c112−4c112+2c03+c012
c4=−29c112−4c112+8c012+c012
c4=−33c112+9c012
c4=−11c14+3c04
Para k=3:
c3+2=−4c3+1(3+2)−c32(3+1)
c5=−4c45−c32(4)
c5=−4c45−c38
c5=−45(−11c14+3c04)−16(29c112+2c03)
c5=100c160−12c020−29c196−4c042
c5=10c16−6c010−29c196−2c021
c5=5c13−3c05−29c196−2c021
c5=5c13−29c196−3c05−2c021
c5=160c196−29c196−63c0105−10c0105
c5=131c196−39c0105
c5=131c196−13c035
Luego la solución en serie de potencias corresponde a:
q(t)=c0+c1t+c2t2+c3t3+c4t4+c5t5+...
Reemplazamos las constantes y tendremos nuestra solución expresada en términos de c0 y c1:
q(t)=c0+c1t+(−2c1−c02)t2+(29c112+2c03)t3+(−11c14+3c04)t4+(131c196−13c035)t5+...
Factorizamos en terminos de c0 y c1 y tendremos:
q(t)=c0(1−t22+2t33+3t44−13t535+...)+c1(t−2t2+29t312−11t44+131t596+...)
Aplicando condiciones iniciales en q(0)=2 tendremos:
q(0)=c0(1−(0)22+2(0)33+3(0)44−13(0)535+...)+c1((0)−2(0)2+29(0)312−11(0)44+131(0)596+...)
q(0)=2=c0(1)+c1(0)
Ahora cuando dq(0)dt=0 lo que equivale a derivar la expresión anterior:
dq(t)dt=2(−t−3t23+12t34+215t4105+...)+c1(1−4t+87t212−44t34+655t496+...)
dq(t)dt=0=2(−(0)−3(0)23+12(0)34+215(0)4105+...)+c1(1−4(0)+87(0)212−44(0)34+655(0)496+...)
0=2c1(1)
0=c1
Luego la correspondiente solución a mi ecuación diferencial es:
q(t)=2(1−t22+2t33+3t44−13t535+...)
De acuerdo a las condiciones iniciales dadas.
Lq″(t)+Rq′(t)+1Cq(t)=E(t)
Los valores de las constantes son los siguientes L=14H, R(t)=(1+t8)Ω, C=4F, E(t)=0, reemplazando dichos valores la ecuación diferencial a resolver es de la forma:
14q″(t)+(1+t8)q′(t)+14q(t)=0
Se propone una solución en series de potencias y sus correspondientes derivadas de hasta segundo orden:
q(t)=∞∑n=0cntn
q(t)′=∞∑n=1cnntn−1
q(t)″=∞∑n=2cnn(n−1)tn−2
Reemplazando en nuestra ecuación diferencial tenemos:
14∞∑n=2cnn(n−1)tn−2+(1+t8)∞∑n=1cnntn−1+14∞∑n=0cntn=0
Distribuyendo para la segunda sumatoria tenemos:
14∞∑n=2cnn(n−1)tn−2+∞∑n=1cnntn−1+t8∞∑n=1cnntn−1+14∞∑n=0cntn=0
Multiplicando el término t que le aporta a la tercera sumatoria tendremos:
14∞∑n=2cnn(n−1)tn−2+∞∑n=1cnntn−1+18∞∑n=0cnntn+14∞∑n=0cntn=0
Hacemos k=n−2 y n=k+2 para la primera sumatoria, k=n−1 y n=k+1 para la segunda sumatoria y k=n para la tercera y cuarta sumatoria, reemplazamos y tenemos:
14∞∑k=0ck+2(k+2)(k+1)tk+∞∑k=0ck+1(k+1)tk+18∞∑k=0ckktk+14∞∑k=0cktk=0
Que se puede escribir de la forma:
∞∑k=0[14ck+2(k+2)(k+1)+ck+1(k+1)+18ckk+14ck]tk=0
Luego:
∞∑k=0[14ck+2(k+2)(k+1)+ck+1(k+1)+18ckk+14ck]⏟=0tk⏟≠0=0
Al despejar la constante de mayor valor en términos de las constantes de valor tendremos:
14ck+2(k+2)(k+1)+ck+1(k+1)+18ckk+14ck=0
14ck+2(k+2)(k+1)+ck+1(k+1)+14ck[k2+1]=0
14ck+2(k+2)(k+1)=−ck+1(k+1)−14ck[k2+1]
ck+2=−4(k+1)ck+1(k+2)(k+1)−44ck(k+2)(k+1)[k2+1]
ck+2=−4(k+1)ck+1(k+2)(k+1)−44ck(k+2)(k+1)[k+22]
ck+2=−4ck+1(k+2)−ck2(k+1)
Le damos valores desde k=0 hasta el valor k=3 dado que se piden calcular los primeros 5 términos de cada solución, por lo tanto:
Para k=0:
c0+2=−4c0+1(0+2)−c02(0+1)
c2=−4c12−c02(1)
c2=−4c12−c02
c2=−2c1−c02
Para k=1:
c1+2=−4c1+1(1+2)−c12(1+1)
c3=−4c23−c12(2)
c3=−4c23−c14
c3=−43(−2c1−c02)−c14
c3=8c13+4c06−c14
c3=8c13−c14+4c06
c3=32c112−3c112+4c06
c3=29c112+2c03
Para k=2:
c2+2=−4c2+1(2+2)−c22(2+1)
c4=−4c34−c22(3)
c4=−4c34−c26
c4=−44(29c112+2c03)−16(−2c1−c02)
c4=−29c112−2c03+4c112+c012
c4=−29c112−4c112+2c03+c012
c4=−29c112−4c112+8c012+c012
c4=−33c112+9c012
c4=−11c14+3c04
Para k=3:
c3+2=−4c3+1(3+2)−c32(3+1)
c5=−4c45−c32(4)
c5=−4c45−c38
c5=−45(−11c14+3c04)−16(29c112+2c03)
c5=100c160−12c020−29c196−4c042
c5=10c16−6c010−29c196−2c021
c5=5c13−3c05−29c196−2c021
c5=5c13−29c196−3c05−2c021
c5=160c196−29c196−63c0105−10c0105
c5=131c196−39c0105
c5=131c196−13c035
Luego la solución en serie de potencias corresponde a:
q(t)=c0+c1t+c2t2+c3t3+c4t4+c5t5+...
Reemplazamos las constantes y tendremos nuestra solución expresada en términos de c0 y c1:
q(t)=c0+c1t+(−2c1−c02)t2+(29c112+2c03)t3+(−11c14+3c04)t4+(131c196−13c035)t5+...
Factorizamos en terminos de c0 y c1 y tendremos:
q(t)=c0(1−t22+2t33+3t44−13t535+...)+c1(t−2t2+29t312−11t44+131t596+...)
Aplicando condiciones iniciales en q(0)=2 tendremos:
q(0)=c0(1−(0)22+2(0)33+3(0)44−13(0)535+...)+c1((0)−2(0)2+29(0)312−11(0)44+131(0)596+...)
q(0)=2=c0(1)+c1(0)
Ahora cuando dq(0)dt=0 lo que equivale a derivar la expresión anterior:
dq(t)dt=2(−t−3t23+12t34+215t4105+...)+c1(1−4t+87t212−44t34+655t496+...)
dq(t)dt=0=2(−(0)−3(0)23+12(0)34+215(0)4105+...)+c1(1−4(0)+87(0)212−44(0)34+655(0)496+...)
0=2c1(1)
0=c1
Luego la correspondiente solución a mi ecuación diferencial es:
q(t)=2(1−t22+2t33+3t44−13t535+...)
De acuerdo a las condiciones iniciales dadas.
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