Ejemplos de propiedades de exponentes

Las propiedades de exponentes en muchas ocasiones las necesitamos aplicar para poder simplificar alguna expresión y/o ecuación matemática, tenemos las siguientes:
1) En multiplicación de dos monomios cualquiera, se suma los exponentes:
$$x^{p}x^{q}$$
$$x^{p+q}$$
E igualmente si tenemos dos monomios cualquiera, sumamos los exponentes en cada una de las bases como se muestra a continuación:
$$(x^{a}y^{b}z^{c})(x^{d}y^{e}z^{f})$$
$$x^{a+d}y^{b+e}z^{c+f}$$
He aquí algunos ejemplos:
a. $$(x^{4}y^{5}z^{3})(x^{5}y^{2}z^{1})$$
$$x^{4+5}y^{5+2}z^{3+1}$$
$$x^{9}y^{7}z^{4}$$
b. $$(x^{4}y^{5}z^{3})(x^{-5}y^{-2}z^{1})$$
$$x^{4+(-5)}y^{5+(-2)}z^{3+1}$$
$$x^{-1}y^{3}z^{4}$$
c. $$x^{3}x^{m-3}$$
$$x^{3+(m-3)}$$
$$x^{3+m-3}$$
$$x^{3-3+m}$$
$$x^{m}$$
Debo aclarar que cualquier expresión de la forma $na^{-b}$ representa una fracción de la forma $\frac{n}{a^{b}}$, análogamente pasará con una expresión de la forma $\frac{n}{a^{-b}}$ que representa una expresión de la forma $na^{b}$, con $a$, $b$, y $n$, números o variables cualesquiera.
2) En división de dos monomios se restan el exponente del numerador con el exponente del denominador.
$$\frac{x^{p}}{x^{q}}$$
$$x^{p-q}$$
He aquí algunos ejemplos
a. $$\frac{x^{3}}{x^{2}}\frac{y^{4}}{y^{6}}$$
$$x^{3-2}y^{4-6}$$
$$x^{1}y^{-2}$$
b. $$\frac{x^{-2}}{x^{-4}}\frac{y^{2}}{y^{1}}\frac{z^{4}}{z^{-7}}$$
$$x^{-2-(-4)}y^{2-1}z^{4-(-7)}$$
$$x^{-2+4}y^{1}z^{4+7}$$
$$x^{2}y^{1}z^{11}$$

c. $$\frac{x^{n}}{x^{n+2}}\frac{y^{-p}}{y^{a}}$$

$$x^{n-(n+2)}y^{-p-a}$$
$$x^{n-n-2}y^{-p-a}$$
$$x^{-2}y^{-(p+a)}$$
3) En exponenciación con parentesis se multiplica el exponente interno por el exponente fuera del parentesis.
$$(x^{p})^{q}$$
$$x^{pq}$$
He aquí algunos ejemplos
a. $$\left(\frac{x^{2}}{y^{3}}\right)^{4}$$
$$\frac{x^{2\cdot 4}}{y^{3\cdot 4}}$$
$$\frac{x^{8}}{y^{12}}$$
En el siguiente ejemplo aplicamos también propiedades de exponentes para la división o para las fracciones, para después aplicar la correspondiente propiedad de los exponentes.
b. $$\left(\frac{x^{-4}}{y^{-5}}\frac{y^{-2}}{x^{-5}}\right)^{5}$$
$$\left(\frac{y^{5}}{x^{4}}\frac{x^{5}}{y^{2}}\right)^{5}$$
$$\left(\frac{x^{5}}{x^{4}}\frac{y^{5}}{y^{2}}\right)^{5}$$
$$(x^{5-4}y^{5-2})^{5}$$
$$(x^{1}y^{3})^{5}$$
$$x^{1\cdot 5}y^{3\cdot 5}$$
$$x^{5}y^{15}$$

c. $$(x^{3m^{2}})^{\frac{4}{m}}$$

$$x^{3m^{2}\cdot \frac{4}{m}}$$

$$x^{\frac{3m^{2}\cdot 4}{m}}$$

$$x^{14 m}$$

4) En exponenciación sin parentesis se eleva el exponente al exponente externo que este tenga.

$$x^{p^{q}}$$
He aquí algunos ejemplos
a. $$\frac{x^{2^{4}}}{y^{3^{4}}}$$
$$\frac{x^{16}}{y^{81}}$$
b. $$\frac{x^{-4^{5}}}{y^{-5^{5}}}$$
$$\frac{y^{5^{5}}}{x^{4^{5}}}$$
$$\frac{y^{3125}}{y^{256}}$$

c. $$x^{m^{\frac{1}{2}m}}$$

Donde el último término depende de los valores de $m$.