Ir al contenido principal

Ejemplos de propiedades de exponentes

Las propiedades de exponentes en muchas ocasiones las necesitamos aplicar para poder simplificar alguna expresión y/o ecuación matemática, tenemos las siguientes:
1) En multiplicación de dos monomios cualquiera, se suma los exponentes:
\[x^{p}x^{q}\]
\[x^{p+q}\]
E igualmente si tenemos dos monomios cualquiera, sumamos los exponentes en cada una de las bases como se muestra a continuación:
\[(x^{a}y^{b}z^{c})(x^{d}y^{e}z^{f})\]
\[x^{a+d}y^{b+e}z^{c+f}\]
He aquí algunos ejemplos:
a.\[(x^{4}y^{5}z^{3})(x^{5}y^{2}z^{1})\]
\[x^{4+5}y^{5+2}z^{3+1}\]
\[x^{9}y^{7}z^{4}\]
b.\[(x^{4}y^{5}z^{3})(x^{-5}y^{-2}z^{1})\]
\[x^{4+(-5)}y^{5+(-2)}z^{3+1}\]
\[x^{-1}y^{3}z^{4}\]
c.\[x^{3}x^{m-3}\]
\[x^{3+(m-3)}\]
\[x^{3+m-3}\]
\[x^{3-3+m}\]
\[x^{m}\]
Debo aclarar que cualquier expresión de la forma $na^{-b}$ representa una fracción de la forma $\frac{n}{a^{b}}$, análogamente pasará con una expresión de la forma $\frac{n}{a^{-b}}$ que representa una expresión de la forma $na^{b}$, con $a$, $b$, y $n$, números o variables cualesquiera.
2) En división de dos monomios se restan el exponente del numerador con el exponente del denominador.
\[\frac{x^{p}}{x^{q}}\]
\[x^{p-q}\]
He aquí algunos ejemplos
a.\[\frac{x^{3}}{x^{2}}\frac{y^{4}}{y^{6}}\]
\[x^{3-2}y^{4-6}\]
\[x^{1}y^{-2}\]
b.\[\frac{x^{-2}}{x^{-4}}\frac{y^{2}}{y^{1}}\frac{z^{4}}{z^{-7}}\]
\[x^{-2-(-4)}y^{2-1}z^{4-(-7)}\]
\[x^{-2+4}y^{1}z^{4+7}\]
\[x^{2}y^{1}z^{11}\]
c.\[\frac{x^{n}}{x^{n+2}}\frac{y^{-p}}{y^{a}}\]
\[x^{n-(n+2)}y^{-p-a}\]
\[x^{n-n-2}y^{-p-a}\]
\[x^{-2}y^{-(p+a)}\]
3) En exponenciación con parentesis se multiplica el exponente interno por el exponente fuera del parentesis.
\[(x^{p})^{q}\]
\[x^{pq}\]
He aquí algunos ejemplos
a.\[\left(\frac{x^{2}}{y^{3}}\right)^{4}\]
\[\frac{x^{2\cdot 4}}{y^{3\cdot 4}}\]
\[\frac{x^{8}}{y^{12}}\]
En el siguiente ejemplo aplicamos también propiedades de exponentes para la división o para las fracciones, para después aplicar la correspondiente propiedad de los exponentes.
b.\[\left(\frac{x^{-4}}{y^{-5}}\frac{y^{-2}}{x^{-5}}\right)^{5}\]
\[\left(\frac{y^{5}}{x^{4}}\frac{x^{5}}{y^{2}}\right)^{5}\]
\[\left(\frac{x^{5}}{x^{4}}\frac{y^{5}}{y^{2}}\right)^{5}\]
\[(x^{5-4}y^{5-2})^{5}\]
\[(x^{1}y^{3})^{5}\]
\[x^{1\cdot 5}y^{3\cdot 5}\]
\[x^{5}y^{15}\]
c.\[(x^{3m^{2}})^{\frac{4}{m}}\]
\[x^{3m^{2}\cdot \frac{4}{m}}\]
\[x^{\frac{3m^{2}\cdot 4}{m}}\]
\[x^{14 m}\]
4) En exponenciación sin parentesis se eleva el exponente al exponente externo que este tenga.
\[x^{p^{q}}\]
He aquí algunos ejemplos
a.\[\frac{x^{2^{4}}}{y^{3^{4}}}\]
\[\frac{x^{16}}{y^{81}}\]
b.\[\frac{x^{-4^{5}}}{y^{-5^{5}}}\]
\[\frac{y^{5^{5}}}{x^{4^{5}}}\]
\[\frac{y^{3125}}{y^{256}}\]
c.\[x^{m^{\frac{1}{2}m}}\]
Donde el último término depende de los valores de $m$.
Etiquetas:

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

¿Cómo resolver la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple con gravedad?

En este caso vamos a solucionar la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional que solo tiene el movimiento en el eje y, y además está en presencia de la gravedad, su ecuación diferencial es la siguiente: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=g\] Esta es una ecuación diferencial no homogénea y la vamos a resolver por el método de variación de parámetros. Para este método necesitamos resolver la ecuación diferencial homogenea: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=0\] Que ya la hemos resuelto en este enlace  aunque resuelta con la coordenada $x$, pero eso no va a importar, porque va a ser la misma solución, solo que cambiamos de $x$ a $y$: \[y(t)=c_{1}cos(\omega t)+c_{2}sen(\omega t)\] Para resolver la ecuación diferencial debemos hallar el wronskiano: \[W(f(t),g(t))=\begin{vmatrix}f(t) & g(t)\\f'(t) & g'(t)\end{vmatrix}\] Identificamos las funciones $f(t)=c_{1}cos(\omega t)$ y $g(t)=c_{2}sen(\omega t)$, hallamos las derivadas $f'(t)=-c_{1}\omega sen(\omega t)$ y $g'(t)=c_{...
Publicar un comentario
Leer más

Demostración ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con Wronskiano

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 47 de ecuaciones diferenciales de segundo orden homogeneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. El problema es el siguiente: Sean $y_{1}$ y $y_{2}$ dos soluciones de: \[a_{2}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{0}y=0\] (a) Sí $W(y_{1},y_{2})$ es el wronskiano de $y_{1}$ y $y_{2}$, demuestre que \[a_{2}(x)\frac{dW}{dx}+a_{1}(x)W=0\] Como $y_{1}$ y $y_{2}$ son soluciones de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden, luego también deben ser soluciones de las ecuaciones diferenciales: \[a_{2}(x)y_{1}''+a_{1}(x)y_{1}'+a_{0}y_{1}=0\] \[a_{2}(x)y_{2}''+a_{1}(x)y_{2}'+a_{0}y_{2}=0\] El wronskiano es de la forma: \[W(y_{1},y_{2})=\begin{vmatrix}y_{1} & y_{2}\\y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}\] \[W(y_{1},y_{2})=y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'\] La derivada del Wronskiano es: \[\frac{dW}{dx}=(y_{1}y_{2}')'-(y_{2}y_{1}')'\...
Publicar un comentario
Leer más

¿Cómo hallar el centro de masa de una lámina con integrales dobles? 2

 A petición de un suscriptor y seguidor voy a mostrar dos ejercicios para el cálculo del centro de masa con integrales dobles, comencemos: El segundo ejercicio es: 2. Calcular el centro de masa de una lámina representada por la región $R$ que se encuentra por encima del eje $x$ y entre las líneas $y=x$; $y=-x$, $x^{2}+y^{2}=4y$; $x^{2}+y^{2}=6y$; $y>0$; donde la densidad es $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ Primero vamos a representar el área, al cuál vamos a hallar el centro de masa (voy a utilizar Geogebra). Este problema resulta más simple si lo resolvemos mediante coordenadas polares, así que la densidad $\rho(x,y)$ en coordenadas polares de acuerdo a las reglas de transformación $x=rcos\theta$ y $y=rsen\theta$ es: \[\rho(x,y)=\rho(rcos\theta,rsen\theta)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(rcos\theta)^{2}+(rsen\theta)^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r\] Como vimos en el primer ejercicio , las integrales que tiene cada punto del centro de masa se pueden representar en coordenadas polares, escogemos este tipo de ...
Publicar un comentario
Leer más