Ejemplos de propiedades de exponentes

Las propiedades de exponentes en muchas ocasiones las necesitamos aplicar para poder simplificar alguna expresión y/o ecuación matemática, tenemos las siguientes:
1) En multiplicación de dos monomios cualquiera, se suma los exponentes:
\[x^{p}x^{q}\]
\[x^{p+q}\]
E igualmente si tenemos dos monomios cualquiera, sumamos los exponentes en cada una de las bases como se muestra a continuación:
\[(x^{a}y^{b}z^{c})(x^{d}y^{e}z^{f})\]
\[x^{a+d}y^{b+e}z^{c+f}\]
He aquí algunos ejemplos:
a.\[(x^{4}y^{5}z^{3})(x^{5}y^{2}z^{1})\]
\[x^{4+5}y^{5+2}z^{3+1}\]
\[x^{9}y^{7}z^{4}\]
b.\[(x^{4}y^{5}z^{3})(x^{-5}y^{-2}z^{1})\]
\[x^{4+(-5)}y^{5+(-2)}z^{3+1}\]
\[x^{-1}y^{3}z^{4}\]
c.\[x^{3}x^{m-3}\]
\[x^{3+(m-3)}\]
\[x^{3+m-3}\]
\[x^{3-3+m}\]
\[x^{m}\]
Debo aclarar que cualquier expresión de la forma $na^{-b}$ representa una fracción de la forma $\frac{n}{a^{b}}$, análogamente pasará con una expresión de la forma $\frac{n}{a^{-b}}$ que representa una expresión de la forma $na^{b}$, con $a$, $b$, y $n$, números o variables cualesquiera.
2) En división de dos monomios se restan el exponente del numerador con el exponente del denominador.
\[\frac{x^{p}}{x^{q}}\]
\[x^{p-q}\]
He aquí algunos ejemplos
a.\[\frac{x^{3}}{x^{2}}\frac{y^{4}}{y^{6}}\]
\[x^{3-2}y^{4-6}\]
\[x^{1}y^{-2}\]
b.\[\frac{x^{-2}}{x^{-4}}\frac{y^{2}}{y^{1}}\frac{z^{4}}{z^{-7}}\]
\[x^{-2-(-4)}y^{2-1}z^{4-(-7)}\]
\[x^{-2+4}y^{1}z^{4+7}\]
\[x^{2}y^{1}z^{11}\]

c.\[\frac{x^{n}}{x^{n+2}}\frac{y^{-p}}{y^{a}}\]

\[x^{n-(n+2)}y^{-p-a}\]
\[x^{n-n-2}y^{-p-a}\]
\[x^{-2}y^{-(p+a)}\]
3) En exponenciación con parentesis se multiplica el exponente interno por el exponente fuera del parentesis.
\[(x^{p})^{q}\]
\[x^{pq}\]
He aquí algunos ejemplos
a.\[\left(\frac{x^{2}}{y^{3}}\right)^{4}\]
\[\frac{x^{2\cdot 4}}{y^{3\cdot 4}}\]
\[\frac{x^{8}}{y^{12}}\]
En el siguiente ejemplo aplicamos también propiedades de exponentes para la división o para las fracciones, para después aplicar la correspondiente propiedad de los exponentes.
b.\[\left(\frac{x^{-4}}{y^{-5}}\frac{y^{-2}}{x^{-5}}\right)^{5}\]
\[\left(\frac{y^{5}}{x^{4}}\frac{x^{5}}{y^{2}}\right)^{5}\]
\[\left(\frac{x^{5}}{x^{4}}\frac{y^{5}}{y^{2}}\right)^{5}\]
\[(x^{5-4}y^{5-2})^{5}\]
\[(x^{1}y^{3})^{5}\]
\[x^{1\cdot 5}y^{3\cdot 5}\]
\[x^{5}y^{15}\]

c.\[(x^{3m^{2}})^{\frac{4}{m}}\]

\[x^{3m^{2}\cdot \frac{4}{m}}\]

\[x^{\frac{3m^{2}\cdot 4}{m}}\]

\[x^{14 m}\]

4) En exponenciación sin parentesis se eleva el exponente al exponente externo que este tenga.

\[x^{p^{q}}\]
He aquí algunos ejemplos
a.\[\frac{x^{2^{4}}}{y^{3^{4}}}\]
\[\frac{x^{16}}{y^{81}}\]
b.\[\frac{x^{-4^{5}}}{y^{-5^{5}}}\]
\[\frac{y^{5^{5}}}{x^{4^{5}}}\]
\[\frac{y^{3125}}{y^{256}}\]

c.\[x^{m^{\frac{1}{2}m}}\]

Donde el último término depende de los valores de $m$.