¿Cómo utilizar división sintética para una ecuación cúbica? Ejemplo 1

La ecuación cúbica que vamos a reducir de orden y también hallar una de las soluciones es la siguiente:
\[m^{3}+m^{2}-2m-2=0\]

Encontramos todos los posibles divisores del término que no tiene $m$

el cuál será nuestro término independiente, y todos los posibles divisores del término que acompaña al término cúbico, para nuestro caso es $1$, por lo tanto tenemos:

\[p=D_{2}=(\pm 1, \pm 2)\]

\[q=D_{1}=(\pm 1)\]

Donde las posibles raíces racionales son de la forma:

\[\frac{p}{q}=\frac{(\pm 1, \pm 2)}{(\pm 1)}=(\pm 1, \pm 2)\]

Aplicamos la división sintética e identificamos cada término de la ecuación cúbica con su respectivo número, bajamos el $1$:

\[\left.\begin{matrix} m^{3} &m^{2}  &m  & T.I.\\  1& 1 & -2 & -2\\  &  &  & \\ --&--  &--  &-- \\  1 &  &  & \end{matrix}\right|m=1\]

Multiplicamos el $m=1$ por el $1$ que bajamos, y el resultado lo pasamos a sumar debajo del $1$ de la siguiente columna:

\[\left.\begin{matrix} m^{3} &m^{2}  &m  & T.I.\\ 1& 1 & -2 & -2\\ & 1 &  & \\  --&--  &--  &-- \\ 1 & 2 &  & \end{matrix}\right|m=1\]

Ahora multiplicamos el $m=1$ por el resultado $2$, y pasamos ese resultado a sumar debajo del $-2$:

\[\left.\begin{matrix} m^{3} &m^{2}  &m  & T.I.\\  1& 1 & -2 & -2\\ & 1 & 2 & \\ --&--  &--  &-- \\1 & 2 &0  & \end{matrix}\right|m=1\]

Ahora multiplicamos el $m=1$ por el resultado $0$,  pasamos ese resultado a sumar debajo del $-2$:

\[\left.\begin{matrix} m^{3} &m^{2}  &m  & T.I.\\ 1& 1 & -2 & -2\\ & 1 & 2 & 0\\ --&--  &--  &-- \\  1 & 2 &0  & -2\end{matrix}\right|m=1\]

Como el ultimo resultado no nos da cero, intentamos con otro número, con $m=-1$ y realizamos el mismo proceso, y obtenemos:

\[\left.\begin{matrix} m^{3} &m^{2}  &m  & T.I.\\ 1& 1 & -2 & -2\\  & -1 & 0 & 2\\  --&--  &--  &-- \\  1 & 0 &-2  & 0\end{matrix}\right|m=-1\]

Para este caso, como el último término nos da cero, tenemos la primera solución a nuestra ecuación cúbica $m=-1$, con los términos que sobran, armamos una ecuación cuadrática:

\[\left.\begin{matrix} m^{3} &m^{2}  &m  & T.I.\\ 1& 1 & -2 & -2\\  & -1 & 0 & 2\\  --&--  &--  &-- \\  1 & 0 &-2  & 0\end{matrix}\right|m=-1\]

El primer termino $-1$ corresponderá a $m^{2}$ el segundo término $0$

corresponderá a $m$ y el ultimo término $-2$ al término independiente, por lo tanto la factorización de nuestra ecuación cúbica es de la forma:

\[(m+1)(m^{2}-2)=0\]

Donde las soluciones son:

\[m_{1}=-1\quad m_{2}=\sqrt{2}\quad m_{3}=-\sqrt{2}\]