¿Cómo resolver una ecuación diferencial de tercer orden por el método de Cauchy-Euler? 1

Nuestra ecuación diferencial a resolver es la siguiente:

$$\frac{2}{7}x^{3}y'''+\frac{8}{7}x^{2}y''-\frac{4}{7}y=0$$

El método de Cauchy-Euler nos pide proponer una solución de la forma:

$$y=x^{m}$$

Donde $m$ es el parámetro que tenemos que encontrar, así que hallamos las derivadas correspondientes y tenemos:

$$y'=mx^{m-1} \quad y''=m(m-1)x^{m-2} \quad y'''=m(m-1)(m-2)x^{m-3}$$

Reemplazamos en la ecuación diferencial que vamos a resolver y tenemos:

$$\frac{2}{7}x^{3}m(m-1)(m-2)x^{m-3}+\frac{8}{7}x^{2}m(m-1)x^{m-2} -\frac{4}{7}x^{m}=0$$

Organizamos términos:

$$\frac{2}{7}x^{3}x^{m-3}m(m-1)(m-2)+\frac{8}{7}x^{2}x^{m-2}m(m-1) -\frac{4}{7}x^{m}=0$$

Aplicamos propiedades de exponentes:

$$\frac{2}{7}x^{m}m(m-1)(m-2)+\frac{8}{7}x^{m}m(m-1) -\frac{4}{7}x^{m}=0$$

Factorizamos $x^{m}$ y tenemos:

$$x^{m}\left(\frac{2}{7}m(m-1)(m-2)+\frac{8}{7}m(m-1) -\frac{4}{7}\right)=0$$

Como $x^{m}$ no puede ser cero, lo será el término entre paréntesis:

$$\frac{2}{7}m(m-1)(m-2)+\frac{8}{7}m(m-1) -\frac{4}{7}=0$$

Realizamos las respectivas operaciones, agrupando los términos de acuerdo a los exponentes:

$$\frac{2}{7}m^{3}+\frac{2}{7}m^{2}-\frac{4}{7}m-\frac{4}{7}=0$$

Multiplicamos toda la ecuación por siete y la dividimos por 2 y nos queda la siguiente ecuación cúbica:

$$m^{3}+m^{2}-2m-2=0$$

Utilizamos división sintética para reducir de orden la ecuación, y hallar finalmente las raíces de la ecuación cúbica que corresponden con los valores de $m$.

$$m_{1}=-1\quad m_{2}=\sqrt{2}\quad m_{3}=-\sqrt{2}$$

Que corresponden a los exponentes de nuestra solución inicial propuesta $y=x^{m}$

Luego la solución de la ecuación diferencial es:

$$y=c_{1}x^{-1}+c_{2}x^{\sqrt{2}}+c_{3}x^{-\sqrt{2}}$$