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¿Cómo resolver una ecuación diferencial de tercer orden por el método de Cauchy-Euler? 1

Nuestra ecuación diferencial a resolver es la siguiente:
\[\frac{2}{7}x^{3}y'''+\frac{8}{7}x^{2}y''-\frac{4}{7}y=0\]
El método de Cauchy-Euler nos pide proponer una solución de la forma:
\[y=x^{m}\]
Donde $m$ es el parámetro que tenemos que encontrar, así que hallamos las derivadas correspondientes y tenemos:
\[y'=mx^{m-1} \quad y''=m(m-1)x^{m-2} \quad y'''=m(m-1)(m-2)x^{m-3}\]
Reemplazamos en la ecuación diferencial que vamos a resolver y tenemos:
\[\frac{2}{7}x^{3}m(m-1)(m-2)x^{m-3}+\frac{8}{7}x^{2}m(m-1)x^{m-2} -\frac{4}{7}x^{m}=0\]
Organizamos términos:
\[\frac{2}{7}x^{3}x^{m-3}m(m-1)(m-2)+\frac{8}{7}x^{2}x^{m-2}m(m-1) -\frac{4}{7}x^{m}=0\]
\[\frac{2}{7}x^{m}m(m-1)(m-2)+\frac{8}{7}x^{m}m(m-1) -\frac{4}{7}x^{m}=0\]
Factorizamos $x^{m}$ y tenemos:
\[x^{m}\left(\frac{2}{7}m(m-1)(m-2)+\frac{8}{7}m(m-1) -\frac{4}{7}\right)=0\]
Como $x^{m}$ no puede ser cero, lo será el término entre paréntesis:
\[\frac{2}{7}m(m-1)(m-2)+\frac{8}{7}m(m-1) -\frac{4}{7}=0\]
Realizamos las respectivas operaciones, agrupando los términos de acuerdo a los exponentes:
\[\frac{2}{7}m^{3}+\frac{2}{7}m^{2}-\frac{4}{7}m-\frac{4}{7}=0\]
Multiplicamos toda la ecuación por siete y la dividimos por 2 y nos queda la siguiente ecuación cúbica:
\[m^{3}+m^{2}-2m-2=0\]
Utilizamos división sintética para reducir de orden la ecuación, y hallar finalmente las raíces de la ecuación cúbica que corresponden con los valores de $m$.
\[m_{1}=-1\quad m_{2}=\sqrt{2}\quad m_{3}=-\sqrt{2}\]
Que corresponden a los exponentes de nuestra solución inicial propuesta $y=x^{m}$
Luego la solución de la ecuación diferencial es:
\[y=c_{1}x^{-1}+c_{2}x^{\sqrt{2}}+c_{3}x^{-\sqrt{2}}\]

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