Soluciones de ecuaciones diferenciales y más

 A petición de un suscriptor y seguidor voy a mostrar dos ejercicios para el cálculo del centro de masa con integrales dobles, comencemos: El segundo ejercicio es: 2. Calcular el centro de masa de una lámina representada por la región $R$ que se encuentra por encima del eje $x$ y entre las líneas $y=x$; $y=-x$, $x^{2}+y^{2}=4y$; $x^{2}+y^{2}=6y$; $y>0$; donde la densidad es $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ Primero vamos a representar el área, al cuál vamos a hallar el centro de masa (voy a utilizar Geogebra). Este problema resulta más simple si lo resolvemos mediante coordenadas polares, así que la densidad $\rho(x,y)$ en coordenadas polares de acuerdo a las reglas de transformación $x=rcos\theta$ y $y=rsen\theta$ es: \[\rho(x,y)=\rho(rcos\theta,rsen\theta)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(rcos\theta)^{2}+(rsen\theta)^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r\] Como vimos en el primer ejercicio , las integrales que tiene cada punto del centro de masa se pueden representar en coordenadas polares, escogemos este tipo de coor

 En esta vez vamos a realizar la siguiente integral: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{5}\theta d\theta\] Vamos a aplicar el mismo método que aplicamos cuándo resolvimos la integral con la función $sen^{3}\theta$ : \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}(1-cos^{2}\theta)^{2}sen\theta d\theta\] Sí $u=cos\theta$, $du=-sen\theta d\theta$, $-du=sen\theta d\theta$, y los límites de integración quedarán de la misma forma que en la integración con $sen^{3}\theta$ , así nuestra integral y su respuesta quedan cómo (realizando la respectiva integral y su evaluación, se deja como ejercicio al lector): \[-\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}(1-u^{2})^{2}du=-\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}(1-2u^{2}+u^{4})du=\frac{28\sqrt{2}}{15}\]

Es nuestro turno de resolver la siguiente integral definida: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{4}\theta d\theta\] De acuerdo a lo visto en la publicación para una integración definida con $sen^{2}\theta$ : \[sen^{2}\theta=\frac{1-cos(2\theta)}{2}\] Así la función $sen^{4}\theta$ puede representarse como: \[sen^{4}\theta=(sen^{2})^{2}=\left(\frac{1-cos(2\theta)}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}-\frac{cos(2\theta)}{2}+\frac{cos(4\theta)}{8}\] Reemplazamos: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{4}\theta d\theta=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\left(\frac{3}{8}-\frac{cos(2\theta)}{2}+\frac{cos(4\theta)}{8}\right)d\theta\] Integramos y evaluamos, para darnos la siguiente respuesta: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{4}\theta d\theta=\frac{3\pi+8}{16}\]

 Ahora les voy a mostrar como realizar la siguiente integral definida: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{3}\theta d\theta\] Está integral también se puede representar cómo: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta sen\theta d\theta\] Por la identidad trigonométrica fundamental: \[sen^{2}\theta+cos^{2}\theta=1\] \[sen^{2}\theta=1-cos^{2}\theta\] Reemplazamos en nuestra integral: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}(1-cos^{2}\theta) sen\theta d\theta\] Hacemos una sustitución de la forma $u^{2}=cos^{2}\theta$, $u=cos\theta$, $du=-sen\theta d\theta$, $-du=sen\theta d\theta$, además para el límite inferior sí $\theta=\frac{\pi}{4}$, $u=cos\theta=cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, y para el límite superior sí $\theta=\frac{3\pi}{4}$, $u=cos\theta=cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, así la integral y su respuesta toman la forma: \[-\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}(1-u^{2})du=\frac{5\sqrt{2}}{6}\]

 En esta oportunidad les voy a mostrar como realizar la integral definida siguiente: \[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}sen^{2}\theta d\theta\] Si es el caso que no recuerdas como reducir está integral a una más fácil, lo mejor es recordar la identidad del coseno para ángulos dobles: \[cos(a\pm b)=cos(a)cos(b)\mp sen(a)sen(b)\] Sí el angulo $a=b$, la identidad queda de la forma (válida sólo para la suma de ángulos): \[cos(2a)=cos^{2}(a)- sen^{2}(a)\] Comparamos con nuestra función $sen^{2}\theta$: \[cos(2\theta)=cos^{2}(\theta)- sen^{2}(\theta)\] Por la identidad fundamental (o pitagórica): \[sen^{2}(\theta)+cos^{2}(\theta)=1\] \[cos^{2}(\theta)=1-sen^{2}(\theta)\] Reemplazamos en nuestra identidad para el ángulo doble: \[cos(2\theta)=1-sen^{2}(\theta)- sen^{2}(\theta)\] \[cos(2\theta)=1-2sen^{2}(\theta)\] Ahora es posible representar el valor de $sen^{2}\theta$ en términos del coseno para ángulos dobles: \[sen^{2}\theta=\frac{1-cos(2\theta)}{2}\] Y la integral también será igual (

A petición de un suscriptor y seguidor voy a mostrar dos ejercicios para el cálculo del centro de masa con integrales dobles, comencemos: El primer ejercicio es: 1. Hallar el centro de masa de una lámina que tiene la forma de la región en el primer cuadrante limitada por la circunferencia $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ y los ejes coordenados, la densidad varía con la suma de las distancias, desde las aristas rectas. Primero vamos a representar el área, al cuál vamos a hallar el centro de masa (voy a utilizar Geogebra). Dicha región en verde corresponde a un cuarto de circunferencia, así la forma de hallar el centro de masa está dada por las formulas: \[\bar{x}=\frac{\int \int_R x\rho(x,y)dxdy}{\int \int_R \rho(x,y)dxdy}\quad \wedge\quad \bar{y}=\frac{\int \int_R y\rho(x,y)dxdy}{\int \int_R \rho(x,y)dxdy}\] Antes de utilizar las expresiones anteriores debemos saber como es la forma de $\rho(x,y)$, y de acuerdo al enunciado corresponde a la suma de las distancias, así que la podemos expresar cómo:

 A petición de una suscriptora, vamos a resolver la siguiente ecuación diferencial exacta: \[\left[sen(y)+\frac{y}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]dx+\left[xcos(y)-\frac{1}{x}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]dy=0\]  Con respuesta R: $xsen(y)+cos\left(\frac{y}{x}\right)=c$ Para este caso ya nos dan la respuesta, pero igualmente es bueno comprobar que la ecuación diferencial es exacta, de acuerdo a la forma canónica que tienen: \[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\] Se debe cumplir que \[\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}\] Con $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$ Así: \[\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\] Comparando con nuestra ecuación diferencial \[\left[sen(y)+\frac{y}{x^{2}}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]=M(x,y) \wedge \left[xcos(y)-\frac{1}{x}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]=N(x,y)\] Calculamos sus derivadas parciales: \[\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\pa

Debido a la petición de una suscriptora y seguidora, he decidido realizar tres ejercicios referentes al tema de convolución que estarán explicados y desarrollados a continuación, eso sí, debo aclarar que son un poco largos, pero intentaré que sea lo más claro posible, comencemos con el primero de los ejercicios: (a) sean $\alpha$, $k$ dos constantes reales, encuentre una relación entre estas dos constantes de modo que se tenga la siguiente igualdad: \[e^{t}\ast cos(\alpha t)=k(e^{t}-cos(\alpha t)+\alpha sen(\alpha t))\] Recordamos que la convolución de dos funciones es igual a: \[f(t)\ast g(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau)d\tau\] y por lo tanto su transformada de Laplace: \[\mathscr{L}[f(t)\ast g(t)]=\mathscr{L}[f(t)]\mathscr{L}[g(t)]\] Así, que para nuestro caso aplicamos el anterior resultado y tenemos: \[\mathscr{L}[e^{t}\ast cos(\alpha t)]=\mathscr{L}[k(e^{t}-cos(\alpha t)+\alpha sen(\alpha t))]\] Primero nos vamos a ocupar de la parte izquierda de la igualdad,  \[\mathscr{L}[e^{t}\

 A petición de una suscriptora, el problema de hoy es resolver la siguiente ecuación diferencial homogénea de primer orden: \[\left[xycos\left(\frac{y}{x}\right)+x^{2}sen\left(\frac{y}{x}\right)\right]y'=y^{2}cos\left(\frac{y}{x}\right)\] Para simplificar el problema podemos dividir toda la expresión por $y^{2}cos\left(\frac{y}{x}\right)$, además de cambiar $y'=\frac{dy}{dx}$: \[\left[\frac{x}{y}+\frac{x^{2}}{y^{2}}cot\left(\frac{y}{x}\right)\right]\frac{dy}{dx}=1\] \[\left[\frac{x}{y}+\frac{x^{2}}{y^{2}}cot\left(\frac{y}{x}\right)\right]dy=dx\] Ahora realizamos el siguiente cambio de variable $y=ux$, y sus correspondientes derivadas $dy=udx+xdu$, luego se cumpliran las siguientes igualdades respecto del cambio de variable $u=\frac{y}{x}$, $\frac{1}{u}=\frac{x}{y}$ que reemplazaremos en nuestra ecuación diferencial para poder distribuir: \[\left[\frac{1}{u}+\frac{1}{u^{2}}cot\left(u\right)\right](udx+xdu)=dx\] \[dx+\frac{x}{u}du+\frac{cot(u)}{u}dx+\frac{x}{u^{2}}cot(u)du=dx\] A

 La integral que queremos solucionar es la siguiente: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y-\frac{1}{2}\frac{k}{E}y^{2}}}\] La expresión dentro de la raíz cuadrada se puede escribir cómo: \[-\frac{1}{2}\frac{k}{E}y^{2}+\frac{mg}{E}y+1=-\left(\frac{1}{2}\frac{k}{E}y^{2}-\frac{mg}{E}y-1\right)\] \[=-\left[\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{2E}\sqrt{\frac{2E}{k}}\right)^{2}-\left(1+\left(\frac{mg}{E}\right)^{2}\frac{2E}{4k}\right)\right]\] \[=\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)-\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{\sqrt{2Ek}}\right)^{2}\] Luego la integral queda de la forma: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)-\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{\sqrt{2Ek}}\right)^{2}}}\] Factorizamos $\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)$: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)}\sqrt{1-\frac{\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}y-\frac{mg}{\sqrt{2Ek}}\right)^{2}}{\left(1+\frac{(mg)^{2}}{2Ek}\right)}}}\] Ahora sí $u

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 47 de ecuaciones diferenciales de segundo orden homogeneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. El problema es el siguiente: Sean $y_{1}$ y $y_{2}$ dos soluciones de: \[a_{2}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{0}y=0\] (a) Sí $W(y_{1},y_{2})$ es el wronskiano de $y_{1}$ y $y_{2}$, demuestre que \[a_{2}(x)\frac{dW}{dx}+a_{1}(x)W=0\] Como $y_{1}$ y $y_{2}$ son soluciones de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden, luego también deben ser soluciones de las ecuaciones diferenciales: \[a_{2}(x)y_{1}''+a_{1}(x)y_{1}'+a_{0}y_{1}=0\] \[a_{2}(x)y_{2}''+a_{1}(x)y_{2}'+a_{0}y_{2}=0\] El wronskiano es de la forma: \[W(y_{1},y_{2})=\begin{vmatrix}y_{1} & y_{2}\\y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}\] \[W(y_{1},y_{2})=y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'\] La derivada del Wronskiano es: \[\frac{dW}{dx}=(y_{1}y_{2}')'-(y_{2}y_{1}')'\

Del curso de Cálculo Integral aprendemos que las integrales de tipo arcoseno u arcocoseno son de la forma: \[\int \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}=arcsen(u)\] ó \[\int -\frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}=arccos(u)\] Hasta es posible ver dicha integral de un poco más complicada sin importar que sea positiva (arcoseno) u negativa (arcocoseno): \[\int \pm \frac{f'(u)du}{\sqrt{1-[f(u)]^{2}}}\] Sólo en esos casos podemos conocer algunas integrales que podemos resolver, pero existen otras integrales que con un cambio de variable, u organización de términos especifico, puede darnos en términos de arcoseno u arcocoseno, un ejemplo puede ser el siguiente: \[\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}\] Acá simplemente dentro de la raíz cuadrada debemos dejarlo de la forma: 1-término al cuadrado para que nos quede fácil de identificar, y así se pueda hacer fácil la integración: \[\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}\left(1-\frac{u^{2}}{a^{2}}\right)}}\] El término $a^{2}$, sale de la raíz cuadrada como $a$,  \[\frac{1}{a}\int

En este caso vamos a solucionar la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional que solo tiene el movimiento en el eje y, y además está en presencia de la gravedad, su ecuación diferencial es la siguiente: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=g\] Esta es una ecuación diferencial no homogénea y la vamos a resolver por el método de variación de parámetros. Para este método necesitamos resolver la ecuación diferencial homogenea: \[\ddot{y}+\omega^{2}y=0\] Que ya la hemos resuelto en este enlace  aunque resuelta con la coordenada $x$, pero eso no va a importar, porque va a ser la misma solución, solo que cambiamos de $x$ a $y$: \[y(t)=c_{1}cos(\omega t)+c_{2}sen(\omega t)\] Para resolver la ecuación diferencial debemos hallar el wronskiano: \[W(f(t),g(t))=\begin{vmatrix}f(t) & g(t)\\f'(t) & g'(t)\end{vmatrix}\] Identificamos las funciones $f(t)=c_{1}cos(\omega t)$ y $g(t)=c_{2}sen(\omega t)$, hallamos las derivadas $f'(t)=-c_{1}\omega sen(\omega t)$ y $g'(t)=c_{

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 17 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. La ecuación diferencial a resolver es: \[\frac{dy}{dx}=e^{2x}+(1+2e^{x})y+y^{2}\] Con la solución conocida $y_1=-e^{x}$ Identificamos $P(x)=e^{2x}$, $Q(x)=1+2e^{x}$ y $R(x)=1$ Luego la ecuación diferencial con solución conocida $y_1$ es: \[\frac{dy_1}{dx}=e^{2x}+(1+2e^{x})y_1+y_1^{2}\] Y la ecuación diferencial a resolver es: \[\frac{du}{dx}-(1+2e^{x}+(-2e^{x})(1))u=(1)u^{2}\] Queda: \[\frac{du}{dx}-u=u^{2}\] Esta ecuación diferencial se puede convertir en una ecuación diferencial lineal de primer orden en virtud del cambio de variable $w=\frac{1}{u}$: \[\frac{dw}{dx}+w=-1\] Calculamos el factor integrante: \[\mu(x)=e^{\int dx}=e^{x}\] Multiplicamos por nuestro factor integrante la ecuación diferencial: \[e^{x}\frac{dw}{dx}+e^{x}w=-e^{x}\] Los términos de la izqu

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 18 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. Nuestra ecuación diferencial a resolver es: \[\frac{dy}{dx}=sec^{2}(x)-tan(x)y+y^{2}\] y su solución conocida es $y_1=tan(x)$ Identificamos las funciones $P(x)=sec^{2}(x)$, $Q(x)=-tan(x)$ y $R(x)=1$ Luego la ecuación diferencial con solución conocida $y_1$ es: \[\frac{dy_1}{dx}=sec^{2}(x)-tan(x)y_1+y_1^{2}\] Y la ecuación diferencial a resolver es: \[\frac{du}{dx}-(-tan(x)+2tan(x)(1))u=u^{2}(1)\] Queda: \[\frac{du}{dx}-tan(x)u=u^{2}\] Esta ecuación diferencial se puede convertir a una ecuación diferencial de primer orden lineal en virtud del cambio de variable $w=\frac{1}{u}$: \[\frac{dw}{dx}+tan(x)w=-1\] Calculamos el factor integrante: \[\mu(x)=e^{\int tan(x)dx}\] De acuerdo a la integral de tangente de x , el factor integrante toma la siguiente forma: \[\mu(x)=

La integral que vamos a resolver es la siguiente: \[\int sec(x)dx\] Para poder realizar la integral de esta función vamos a multiplicar por $sec(x)+tan(x)$ arriba y abajo, que es equivalente a multiplicar por $1$: \[\int sec(x)\frac{sec(x)+tan(x)}{sec(x)+tan(x)}dx\] Distribuyendo: \[\int \frac{sec^{2}(x)+sec(x)tan(x)}{sec(x)+tan(x)}dx\] Luego podemos realizar el siguiente cambio de variable, sí $u=sec(x)+tan(x)$, por lo tanto $du=sec(x)tan(x)+sec^{2}(x)$, por lo tanto nos queda la integral que da como resultado en términos de un logaritmo natural: \[\int \frac{du}{u}=ln(u)+C\] Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la respuesta a nuestra integral: \[\int sec(x)dx=ln(sec(x)+tan(x))+C\]

La integral que queremos resolver es la siguiente: \[\int tan(x)dx\] Podemos expresarla de acuerdo a la razón trigonométrica $tan(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}$: \[\int \frac{sen(x)}{cos(x)}dx\] Podemos hacer una sustitución $u=cos(x)$, $du=-sen(x)$, pasamos el menos al otro lado $-du=sen(x)$ Y nos queda la siguiente integral, que corresponde a un logaritmo natural: \[-\int \frac{du}{u}=-ln(u)+C\] Que por propiedades de los logaritmos: \[-ln(u)+C=ln(u^{-1})+C\] Deshacemos el cambio de variable y finalmente encontramos la respuesta a nuestra integral: \[\int tan(x)dx=ln(cos(x)^{-1})+C\] \[\int tan(x)dx=ln(sec(x))+C\]

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 12 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. Nos piden que se convierta la ecuación diferencial: \[\frac{du}{dx}-(Q(x)+2y_1R(x))u=R(x)u^{2}\] A una ecuación diferencial lineal; esta ecuación diferencial viene de decir que la ecuación diferencial de Ricatti se puede expresar como la suma de dos funciones $y_1$ y $u$, donde $y_1$  es la solución conocida, y $u$ satisface la ecuación de Bernoulli con $n=2$ que vamos a colocar en términos de una ecuación lineal de primer orden. Dividimos toda la ecuación diferencial por $u^{2}$: \[u^{-2}\frac{du}{dx}-(Q(x)+2y_1R(x))u^{-1}=R(x)\] Realizamos un cambio de variable de la forma $w=u^{-1}$ y su respectiva derivada será $dw=-u^{-2}du$, que para poder realizar el cambio de variable expresamos como $-dw=u^{-2}du$: \[-\frac{dw}{dx}-(Q(x)+2y_1R(x))w=R(x)\] Esta ecuación diferencia

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 11 de ecuaciones lineales con ecuación de Ricatti del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. La ecuación de Ricatti es una ecuación diferencial no lineal de la forma: \[\frac{dy}{dx}=P(x)+Q(x)y+R(x)y^{2}\] Luego si $y_{1}$ es una solución particular conocida de la ecuación de Ricatti, demuestre que $y=y_{1}+u$ es una familia de funciones de la ecuación diferencial de Ricatti, en donde $u$ es la solución de: \[\frac{du}{dx}-(Q(x)+2y_{1}R(x))u=R(x)u^{2}\] De acuerdo a la solución $y$ expresada en términos de $y_1$ y $u$, realizamos la derivada a primer orden: \[\frac{dy}{dx}=\frac{dy_1}{dx}+\frac{du}{dx}\] Reemplazamos dicho resultado en la ecuación diferencial de Ricatti: \[\frac{dy_1}{dx}+\frac{du}{dx}=P(x)+Q(x)(y_1+u)+R(x)(y_1+u)^{2}\] Desarrollando el binomio al cuadrado del ultimo término y distribuyendo nos queda: \[\frac{dy_1}{dx}+\frac{du}{dx}=P(x)+Q(x)y_1+

La ecuación de Bernoulli es aquella de la forma: \[\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)y^{n}\] Que es una ecuación diferencial no lineal de primer orden, que mediante un cambio de variable como se mostrará a continuación se convierte en una ecuación diferencial lineal de primer orden. Si esta ecuación diferencial la dividimos por $y^{n}$ queda: \[y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=f(x)\] Podemos realizar un cambio de variable $w=y^{1-n}$, donde su derivada es $\frac{dw}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$, que podemos expresar como $\frac{1}{1-n}\frac{dw}{dx}=y^{-n}\frac{dy}{dx}$ para reemplazar en nuestra ecuación diferencial: \[\frac{1}{1-n}\frac{dw}{dx}+P(x)w=f(x)\] Multiplicando ahora por $(1-n)$ obtenemos la ecuación diferencial lineal: \[\frac{dw}{dx}+(1-n)P(x)w=(1-n)f(x)\]

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 4 de ecuaciones lineales con ecuación de Bernoulli del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. Nuestra ecuación diferencial a solucionar es una  ecuación diferencial de Bernoulli  de la forma: \[x\frac{dy}{dx}-(1+x)y=xy^{2}\] Dividimos por $x$ y por $y^{2}$: \[\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}-\frac{(1+x)}{x}\frac{1}{y}=1\] Vemos que podemos realizar el cambio de variable $w=\frac{1}{y}$, y su respectiva derivada $\frac{dw}{dx}=-\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}$, o $-\frac{dw}{dx}=\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}$ reemplazamos en nuestra ecuación diferencial: \[-\frac{dw}{dx}-\frac{(1+x)}{x}w=1\] \[\frac{dw}{dx}+\frac{(1+x)}{x}w=-1\] Calculamos el factor integrante: \[\mu(x)=e^{\int P(x)dx}\] Con $P(x)=\frac{(1+x)}{x}$, que también podemos representar mas fácil como $P(x)=\frac{1}{x}+1$, calculamos el factor integrante: \[\mu(x)=e^{\int \left(\frac{1}{x}+1\right)dx}=e^{ln(x)+

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 2 de ecuaciones lineales con ecuación de Bernoulli del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. Nuestra ecuación diferencial a solucionar es una ecuación diferencial de Bernoulli de la forma: \[\frac{dy}{dx}-y=e^{x}y^{2}\] Si pasamos a dividir todo por $y^{2}$: \[y^{-2}\frac{dy}{dx}-y^{-1}=e^{x}\] El cambio de variable que podemos realizar es el siguiente $w=y^{-1}$, y su derivada es $\frac{dw}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx}$, el menos pasa al otro lado y tenemos los términos que vamos a reemplazar en nuestra ecuación diferencial: \[-\frac{dw}{dx}-w=e^{x}\] \[\frac{dw}{dx}+w=-e^{x}\] Calculamos el factor integrante: \[\mu(x)=e^{\int P(x)dx}\] Donde la función $P(x)=1$, entonces el factor integrante a encontrar es de la forma: \[\mu(x)=e^{\int dx}=e^{x}\] Así nuestra ecuación diferencial adquiere la siguiente forma: \[e^{x}\frac{dw}{dx}+e^{x}w=-e^{2x}\] Los primeros

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 4.a de ecuaciones con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Resolver las siguientes ecuaciones usando las fórmulas diferenciales: \[d\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{ydx-xdy}{y^{2}}\] \[d(xy)=xdy+ydx\] \[d(x^{2}+y^{2})=2(xdx+ydy)\] \[d\left(arctg\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{x^{2}+y^{2}}\] \[d\left(ln\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{xy}\] Nuestra ecuación diferencial a resolver es: \[(y+x)dy=(y-x)dx\] Distribuimos y la ecuación diferencial toma la forma: \[ydy+xdy=ydx-xdx\] Pasamos a restar $ydy$ del lado izquierdo al derecho  y también pasamos a restar $ydx$ del lado derecho al izquierdo \[xdy-ydx=-ydy-xdx\] Multiplicamos por menos en ambos lados de la  expresión y nos queda: \[ydx-xdy=ydy+xdx\] Multiplicamos por $\frac{1}{x^{2}+y^{2}}$ en ambos lados: \[

Nuestra integral a resolver es la siguiente: \[\int \frac{d(x^{2}+y^{2})}{2(x^{2}+y^{2})}\] Podemos realizar el siguiente cambio de variable $u=x^{2}+y^{2}$, $du=d(x^{2}+y^{2})$, debido a que este término corresponde con la derivada del denominador, así transformamos esta integral en: \[\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}ln(u)+C\] Deshacemos el cambio de variable: \[\frac{1}{2}ln(u)+C=\frac{1}{2}ln(x^{2}+y^{2})+C\] Aplicamos propiedades de logaritmos: \[\frac{1}{2}ln(x^{2}+y^{2})+C=ln(x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{2}}\] Que corresponde con una raíz cuadrada: \[ln(x^{2}+y^{2})^{frac{1}{2}}=ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}+C\] Así finalmente tenemos la respuesta a nuestra integral: \[\int \frac{d(x^{2}+y^{2})}{2(x^{2}+y^{2})}=ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}+C\]

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 4.a de ecuaciones con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Resolver las siguientes ecuaciones usando las fórmulas diferenciales: \[d\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{ydx-xdy}{y^{2}}\] \[d(xy)=xdy+ydx\] \[d(x^{2}+y^{2})=2(xdx+ydy)\] \[d\left(arctg\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{x^{2}+y^{2}}\] \[d\left(ln\left(\frac{x}{y}\right)\right)=\frac{ydx-xdy}{xy}\] Nuestra ecuación diferencial a resolver es: \[xdy-ydx=(1+y^{2})dy\] Que podemos distribuir el segundo término y dejar como: \[xdy-ydx=dy+y^{2}dy\] Dividiendo por $y^{2}$: \[\frac{x}{y^{2}}dy-\frac{y}{y^{2}}dx=\frac{1}{y^{2}}dy+dy\] Dónde los dos primeros términos multiplicados por menos, toman la primera forma de nuestras fórmulas diferenciales: \[\frac{-(ydx-xdy)}{y^{2}}=\frac{1}{y^{2}}dy+dy\] \[-d\left(\frac{x}{y}\right)

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 2.i de ecuaciones con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Resolver cada una de estas ecuaciones hallando un factor integrante: \[(yln(y)-2xy)dx+(x+y)dy=0\] Este libro nos propone hallar de dos formas los factores integrantes: \[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=g(x)\] \[\mu(x)=e^{\int g(x)dx}\] y \[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{-M}=h(y)\] \[\mu(y)=e^{\int h(y)dy}\] Como ambos factores integrantes tienen el mismo numerador, calculamos las derivadas parciales: \[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(yln(y)-2xy)\] \[\frac{\partial M}{\partial y}=ln(y)+1-2x\] \[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(x+y)\] \[\frac{\partial N}{\partial x}=1\] Calculamos las funciones $g(x)$ y $

La integral que queremos resolver es la siguiente: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}}\] Realizamos un cambio de variable de la forma $u=1+\frac{mg}{E}y$, $du=\frac{mg}{E}dy$, luego $\frac{E}{mg}du=dy$, así nuestra integral toma la forma: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\frac{E}{mg} \int\frac{du}{\sqrt{u}}\] Que se reduce a una sencilla integral: \[\sqrt{\frac{E}{2m}}\frac{1}{g} \int\frac{du}{(u)^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{\frac{E}{2m}}\frac{1}{g} \int (u)^{\frac{-1}{2}}du\] Que corresponde a la siguiente respuesta: \[\sqrt{\frac{2E}{mg^{2}}}(u)^{\frac{1}{2}}+C\] Deshacemos el cambio de variable para llegar finalmente al resultado de nuestra integral: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}}=\sqrt{\frac{2E}{mg^{2}}}\left(1+\frac{mg}{E}y\right)^{\frac{1}{2}}+C\] \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dy}{\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}}=\sqrt{\frac{2E}{mg^{2}}}\sqrt{1+\frac{mg}{E}y}+C\]

Nuestra ecuación a resolver es la siguiente: \[\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=g\] Integramos respecto al tiempo: \[\int \frac{d^{2}x}{dt^{2}}dt=\int gdt\] La respuesta a esta integral es la siguiente: \[ \frac{dx}{dt}=gt+C\] Como $\frac{dx}{dt}$ corresponde a la velocidad, entonces podemos escribir la ecuación como sigue: \[ v(t)=gt+C\] Proponemos la siguiente condición inicial $v(0)=v_{0}$, y hallamos el valor de la constante: \[ v_{0}=C\] reemplazando y volviendo a nuestra ecuación diferencial resultante: \[ \frac{dx}{dt}=gt+v_{0}\] Volvemos a integrar: \[\int \frac{dx}{dt}dt=\int (gt+v_{0})dt\] Obtenemos que la variable $x$ va a depender del tiempo: \[x(t)=\frac{gt^{2}}{2}+v_{0}t+C\] Aplicamos la siguiente condición inicial $x(0)=x_{0}$, y tenemos el valor de la constante de integración: \[x_{0}=C\] Finalmente reemplazamos y llegamos a la solución de la ecuación diferencial: \[x(t)=\frac{gt^{2}}{2}+v_{0}t+x_{0}\]

Nuestra ecuación a resolver es la siguiente: \[\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=0\] Integramos respecto al tiempo: \[\int \frac{d^{2}x}{dt^{2}}dt=\int 0dt\] La respuesta a esta integral es la siguiente: \[ \frac{dx}{dt}=C\] Como $\frac{dx}{dt}$ corresponde a la velocidad, entonces podemos escribir la ecuación como sigue: \[ v(t)=C\] Proponemos la siguiente condición inicial $v(0)=v_{0}$, y hallamos el valor de la constante: \[ v_{0}=C\] reemplazando y volviendo a nuestra ecuación diferencial resultante: \[ \frac{dx}{dt}=v_{0}\] Volvemos a integrar: \[\int \frac{dx}{dt}dt=\int v_{0}dt\] Obtenemos que la variable $x$ va a depender del tiempo: \[x(t)=v_{0}t+C\] Aplicamos la siguiente condición inicial $x(0)=x_{0}$, y tenemos el valor de la constante de integración: \[x_{0}=C\] Finalmente reemplazamos y llegamos a la solución de la ecuación diferencial: \[x(t)=v_{0}t+x_{0}\]

La integral que queremos resolver es la siguiente: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}\] Realizamos un cambio de variable de la siguiente forma: \[\frac{k}{2E}x^{2}=y^{2}\] Para poder hallar la derivada sacamos raíz cuadrada a ambos términos: \[\sqrt{\frac{k}{2E}}x=y\] Sacamos las derivadas y obtenemos: \[\sqrt{\frac{k}{2E}}dx=dy\] Luego pasando el factor que multiplica el $dx$ al lado del dy: \[dx=\sqrt{\frac{2E}{k}}dy\] Por tanto la integral queda de la forma: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\sqrt{\frac{2E}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}\] \[\sqrt{\frac{m}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}\] Que corresponde a una integral de arcoseno, por lo tanto la respuesta nos queda como: \[\sqrt{\frac{m}{k}}\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcsen(y)+C\] Deshaciendo el cambio de variable, obtenemos finalmente el resultado de nuestra integral: \[\sqrt{\frac{m}{2E}}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\frac{k}{E}x^{2}}}=\sqrt{\frac{m}{k}}arcse

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 2.d de ecuaciones con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Resolver cada una de estas ecuaciones hallando un factor integrante: \[e^{x}dx+(e^{x}cot(y)+2y csc(y))dy=0\] Este libro nos propone hallar de dos formas los factores integrantes: \[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=g(x)\] \[\mu(x)=e^{\int g(x)dx}\] y \[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{-M}=h(y)\] \[\mu(y)=e^{\int h(y)dy}\] Como ambos factores integrantes tienen el mismo numerador, calculamos las derivadas parciales: \[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(e^{x})\] \[\frac{\partial M}{\partial y}=0\] \[\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(e^{x}cot(y)+2ycsc(y))\] \[\frac{\partial N}{\partial x}=e^{x}cot(y)\] Calculamos

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 41 de ecuaciones lineales con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. El problema es el siguiente: \[L\frac{di}{dt}+Ri=E\] Con $L$, $R$ y $E$ son constantes, y de acuerdo a la condición inicial $i(0)=i_{0}$ Identificamos con la ecuación diferencial lineal: \[\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)\] Donde el factor integrante se obtiene a partir de: \[\mu(x)=e^{\int P(x)dx}\] Para que nuestra ecuación diferencial quede de la forma: \[e^{\int P(x)dx}\frac{dy}{dx}+e^{\int P(x)dx}P(x)y=e^{\int P(x)dx}f(x)\] La cuál ya es una ecuación diferencial exacta debido al factor integrante. Así nuestra ecuación diferencial queda de la forma: \[\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}\] Hallamos dicho factor integrante: \[\mu(t)=e^{\int \frac{R}{L}dt}=e^{\frac{R}{L}t}\] Así nuestra ecuación diferencial queda de la forma: \[e^{\frac{R}{L}t}\frac{di}{dt}+e^{\frac{R}{L}

Nuestra integral a resolver es la siguiente: \[\frac{E}{L}\int e^{\frac{R}{L}t}dt\] Con $E$, $R$ y $L$ constantes, Realizamos una sustitución de la forma $u=\frac{R}{L}t$, $du=\frac{R}{L}dt$, entonces $\frac{L}{R}du=dt$ Así la integral a resolver es la siguiente: \[\frac{L}{R}\int e^{u}du=\frac{L}{R}e^{u}\] Deshacemos el cambio de variable y tenemos la respuesta a nuestra integral: \[\frac{E}{L}\int e^{\frac{R}{L}t}dt=\frac{E}{R}e^{\frac{R}{L}t}\]

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 18 de ecuaciones lineales con factor integrante del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones 2da edición,  del autor  Dennis G. Zill. El problema es el siguiente: \[\frac{dy}{dx}+ycot(x)=2cos(x)\] Identificamos con la ecuación diferencial lineal: \[\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)\] Donde el factor integrante se obtiene a partir de: \[\mu(x)=e^{\int P(x)dx}\] Para que nuestra ecuación diferencial quede de la forma: \[e^{\int P(x)dx}\frac{dy}{dx}+e^{\int P(x)dx}P(x)y=e^{\int P(x)dx}f(x)\] La cuál ya es una ecuación diferencial exacta debido al factor integrante. Hallamos dicho factor integrante: \[\mu(x)=e^{\int cot(x)dx}\] La integral de la función cotangente es la siguiente: \[\int cot(x)dx=ln(sen(x))+C\] El factor integrante nos queda de la forma: \[\mu(x)=e^{ln(sen(x))}=sen(x)\] Así nuestra ecuación diferencial a resolver toma la forma: \[sen(x)\frac{dy}{dx}+ysen(x)cot(x)=2sen(x)cos(x)\] Volvemos a re

Nuestra integral a resolver está vez es la siguiente: \[\int sen(2x)dx\] Podemos realizar la siguiente sustitución $u=2x$, $du=2dx$, entonces $\frac{du}{2}=dx$, así la integral nos queda de la forma: \[\frac{1}{2}\int sen(u)du\] Que corresponde a una integral fundamental: \[\frac{1}{2}\int sen(u)du=-\frac{1}{2}cos(u)+C\] Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la respuesta a nuestra integral: \[-\frac{1}{2}cos(2x)+C\]

La integral que vamos a resolver en el día de hoy es la siguiente: \[\int cot(x)dx\] Esta integral la podemos expresar en términos de las funciones seno y coseno, debido a la razón trigonométrica $cot(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}$: \[\int \frac{cos(x)}{sen(x)}dx\] Ahora podemos realizar el siguiente cambio de variable $u=sen(x)$, $du=cos(x)dx$, y la nueva integral en términos de $u$ nos queda como: \[\int \frac{du}{u}\] Que corresponde a la integral que da como resultado la función $ln(u)$ (Para nuestro caso antes de realizar el cambio de variable) \[\int \frac{du}{u}=ln(u)+C\] Deshacemos el cambio de variable y tenemos la respuesta final a nuestra integral: \[\int cot(x)dx=\int \frac{cos(x)}{sen(x)}dx=ln(sen(x))+C\]

En este caso vamos a solucionar la ecuación diferencial para un oscilador armónico unidimensional que solo tiene el movimiento en el eje x, y su ecuación diferencial es la siguiente: \[\ddot{x}+\omega^{2}x=0\] Podemos ver que la ecuación corresponde a una ecuación diferencial homogénea, así que proponemos una solución de la forma $x=e^{mt}$ y hallamos sus derivadas $\dot{x}=me^{mt}$, $\ddot{x}=m^{2}e^{mt}$, reemplazamos en nuestra ecuación diferencial: \[m^{2}e^{mt}+\omega^{2}e^{mt}=0\] Sacando factor común $e^{mt}$: \[e^{mt}(m^{2}+\omega^{2})=0\] Donde $e^{mt}$ no puede ser cero, entonces lo será el termino entre parentesis y hallamos sus respectivas raíces: \[m^{2}+\omega^{2}=0\] Donde las soluciones son imaginarias y corresponden a: \[m_1=i\omega \quad m-2=-i\omega\] La solución queda expresada como: \[x(t)=e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}\] Aplicamos la identidad de Euler para simplificar mas elegante esta solución: \[e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta\] Nos queda ahora

Nos piden simplificar la siguiente solución de una ecuación diferencial (aunque es válido para simplificar muchas expresiones, sólo que acá muestro el respectivo procedimiento): \[y=C_1e^{i3x}+C_2e^{-i3x}\] Aplicamos la identidad de Euler: \[e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta\] La solución queda de la forma: \[y=C_1(cos(3x)+isen(3x))+C_2(cos(-3x)+isen(-3x))\] Donde $cos(-3x)=cos(3x)$ y $sen(-3x)=-sen(3x)$: \[y=C_1(cos(3x)+isen(3x))+C_2(cos(3x)-isen(3x))\] Distribuimos y factorizamos $cos(3x)$ y $sen(3x)$: \[y=C_1(cos(3x)+isen(3x))+C_2(cos(3x)-isen(3x))\] \[y=C_1cos(3x)+iC_1sen(3x)+C_2cos(3x)-iC_2sen(3x)\] \[y=(C_1+C_2)cos(3x)+(iC_1-iC_2)sen(3x)\] Renombramos las constantes: $(C_1+C_2)=c_1$ y $(iC_1-iC_2)=c_2$, y por lo tanto la solución queda reducida a la forma: \[y=c_1cos(3x)+c_2sen(3x)\]

Nuestra integral que queremos resolver es la siguiente: \[\int \frac{w^{2}dw}{1+w^{2}}\] Podemos reexpresar la función como: \[\int \frac{w^{2}+1-1}{1+w^{2}}\] Separamos fracciones y por linealidad tenemos las siguientes integrales: \[\int \frac{w^{2}+1}{1+w^{2}}dw-\int \frac{1}{1+w^{2}}dw\] La primera integral nos queda muy sencilla, y la segunda corresponde a la integral de arcotangente: \[\int dw-\int \frac{1}{1+w^{2}}dw\] Luego la respuesta a la integral es la siguiente: \[\int \frac{w^{2}dw}{1+w^{2}}=w-arctan(w)+C\]

Nuestra integral que vamos a resolver es la siguiente: \[\int \frac{du}{(u-1)^{2}}\] Para la primera integral podemos realizar el siguiente cambio de variable $p=u-1$, $dp=du$, e integramos: \[\int \frac{dp}{p^{2}}=-\frac{1}{p}+C\] Deshacemos el cambio de variable y tenemos: \[-\frac{1}{p}+C=-\frac{1}{u-1}+C\] Que corresponde a la respuesta final de nuestra integral: \[\int \frac{du}{(u-1)^{2}}=-\frac{1}{u-1}+C_{1}\]

Nuestra integral que vamos a resolver es la siguiente: \[\int \frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx\] En este caso tenemos que realizar dos sustituciones para poder llegar al resultado, la primera sustitución es $u=3x$, $du=3dx$; entonces $\frac{du}{3}=dx$, y nuestra integral queda de la forma: \[\frac{1}{3}\int\frac{sen(u)}{cos^{3}(u)}du\] La siguiente sustitución a realizar es $v=cos(u)$, $dv=-sen(u)du$; entonces $-dv=sen(u)du$, y finalmente nuestra integral tiene la forma: \[-\frac{1}{3}\int \frac{dv}{v^{3}}\] Se puede expresar más sencillo para obtener su método de solución: \[-\frac{1}{3}\int v^{-3}=-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}v^{-2}\right)+C=\frac{1}{6}v^{-2}+C\] Deshacemos las sustituciones: \[\frac{1}{6}v^{-2}+C=\frac{1}{6v^{2}}+C=\frac{1}{6cos^{2}(3x)}+C=\frac{1}{6}sec^{2}(3x)+C\] Tenemos la respuesta a nuestra integral: \[\int \frac{sen(3x)}{cos^{3}(3x)}dx=\frac{1}{6}sec^{2}(3x)+C\]

Nuestra integral que vamos a resolver es la siguiente: \[\int (e^{-x}+e^{-3x})dx\] Por linealidad de las integrales: \[\int e^{-x}dx+\int e^{-3x}dx\] Para la primera integral \[\int e^{-x}dx\] Realizamos una sustitución de la siguiente forma $u=-x$, $du=-dx$, $-du=dx$, así la integral toma la forma: \[-\int e^{u}du\] Como es una integral fundamental, tenemos el siguiente resultado de la integral: \[-e^{u}+c_1\] Deshacemos el cambio de variable para obtener la respuesta a la primera integral: \[\int e^{-x}dx=-e^{-x}+c_1\] Para la segunda integral \[\int e^{-3x}dx\] Realizamos una sustitución de la siguiente forma $v=-3x$, $dv=-3dx$, $-\frac{dv}{3}=dx$, así la integral toma la forma: \[-\frac{1}{3}\int e^{v}dv\] Que también corresponde a una integral fundamenta, integrando: \[-\frac{1}{3}e^{v}+c_{2}\] Deshacemos el cambio de variable para obtener la respuesta a la segunda integral: \[\int e^{-3x}dx=-\frac{1}{3}e^{-3x}+c_{2}\] Luego la respuesta a toda la integral es:

Nuestra integral que queremos resolver por partes es la siguiente: \[\int e^{y}ydy\] Esta integral se resuelve aplicando  Uniforme de Vaca es para Una Vaca Vestida de Uniforme, que en forma matemática es la siguiente expresión: \[\int UdV=UV-\int VdU\] Para resolver fácil la integral escogemos $U=y$, su respectiva derivada $dU=dy$, $dV=e^{y}dy$ y su respectiva integral es $e^{y}$ La integral se transforma en: \[\int e^{y}ydy=ye^{y}-\int e^{y}dy\] \[\int  e^{y}ydy=ye^{y}-e^{y}+C_{1}\] Sacando factor común: \[\int  e^{y}ydy=e^{y}(y-1)+C_{1}\] Obtenemos respuesta a nuestra integral.

La ecuación cúbica que vamos a reducir de orden y también hallar una de las soluciones es la siguiente: \[m^{3}+m^{2}-2m-2=0\] Encontramos todos los posibles divisores del término que no tiene $m$ el cuál será nuestro término independiente, y todos los posibles divisores del término que acompaña al término cúbico, para nuestro caso es $1$, por lo tanto tenemos: \[p=D_{2}=(\pm 1, \pm 2)\] \[q=D_{1}=(\pm 1)\] Donde las posibles raíces racionales son de la forma: \[\frac{p}{q}=\frac{(\pm 1, \pm 2)}{(\pm 1)}=(\pm 1, \pm 2)\] Aplicamos la división sintética e identificamos cada término de la ecuación cúbica con su respectivo número, bajamos el $1$: \[\left.\begin{matrix} m^{3} &m^{2}  &m  & T.I.\\  1& 1 & -2 & -2\\  &  &  & \\ --&--  &--  &-- \\  1 &  &  & \end{matrix}\right|m=1\] Multiplicamos el $m=1$ por el $1$ que bajamos, y el resultado lo pasamos a sumar debajo del $1$ de la siguiente columna: \[\left.\

Las propiedades de exponentes en muchas ocasiones las necesitamos aplicar para poder simplificar alguna expresión y/o ecuación matemática, tenemos las siguientes: 1) En multiplicación de dos monomios cualquiera, se suma los exponentes: \[x^{p}x^{q}\] \[x^{p+q}\] E igualmente si tenemos dos monomios cualquiera, sumamos los exponentes en cada una de las bases como se muestra a continuación: \[(x^{a}y^{b}z^{c})(x^{d}y^{e}z^{f})\] \[x^{a+d}y^{b+e}z^{c+f}\] He aquí algunos ejemplos: a.\[(x^{4}y^{5}z^{3})(x^{5}y^{2}z^{1})\] \[x^{4+5}y^{5+2}z^{3+1}\] \[x^{9}y^{7}z^{4}\] b.\[(x^{4}y^{5}z^{3})(x^{-5}y^{-2}z^{1})\] \[x^{4+(-5)}y^{5+(-2)}z^{3+1}\] \[x^{-1}y^{3}z^{4}\] c.\[x^{3}x^{m-3}\] \[x^{3+(m-3)}\] \[x^{3+m-3}\] \[x^{3-3+m}\] \[x^{m}\] Debo aclarar que cualquier expresión de la forma $na^{-b}$ representa una fracción de la forma $\frac{n}{a^{b}}$, análogamente pasará con una expresión de la forma $\frac{n}{a^{-b}}$ que representa una expresión de la forma $na^{b}$, con $a$

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 22 de ecuaciones homogéneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Hallar el valor de $n$ para el cuál cada una de las ecuaciones siguientes es exacta y resolver para ese valor de $n$: b) $(x+ye^{2xy})dx+(nxe^{2xy})dy=0$ Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente: \[\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}\] O como normalmente se muestra: \[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\] Corresponde a la ecuación diferencial: \[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\] Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$ El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso). Calculamos la derivada parcial de $M$ respe

En esta ocasión, vengo a mostrarles la solución del problema 22 de ecuaciones homogéneas del libro de  Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas 2da edición,  del autor  George F. Simmons El problema es el siguiente: Hallar el valor de $n$ para el cuál cada una de las ecuaciones siguientes es exacta y resolver para ese valor de $n$: a) $(xy^{2}+nx^{2}y)dx+(x^{3}+x^{2}y)dy=0$ Para que la ecuación sea exacta debemos tener en cuenta lo siguiente: \[\frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}\] O como normalmente se muestra: \[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\] Corresponde a la ecuación diferencial: \[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\] Luego podemos identificar las funciones $M=\frac{\partial f}{\partial x}$ y $N=\frac{\partial f}{\partial y}$ El problema es hallar la función $f$ que cumpla tal ecuación (comprobando primero si es una ecuación exacta para este caso). Calculamos la derivada parcial de $M